Fundamentalsatz d. Algebra für Polynom mehrer Variablen

13.04.2013, 23:18	Christina90	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsatz d. Algebra für Polynom mehrer Variablen Hallo Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen. Dort steht: Wir betrachten das homogene Polynom $\begin{eqnarray} f(x_0,x_1,x_2)= x_2 q(x_0,x_1) + ax_0³ + bx_0²x_1 + cx_0x_1² + dx_1³ \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} q(x_0,x_1) \end{eqnarray}$ eine homogene, quadratische Form ist und die Koeffizienten von f aus $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind. Wenn $\begin{eqnarray} q(x_0,x_1) \equiv 0 \end{eqnarray}$ ist, dann zerfällt f in drei Linearfaktoren nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Vielleicht steh ich auf dem Schlauch, aber wieso folgt das?
13.04.2013, 23:27	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, dann hast du ein homogenes Polynom vom Grad 3 in zwei Variablen, das zerfällt in Linearfaktoren der Form $\begin{eqnarray} (a_i x_0 - b_i x_1) \end{eqnarray}$ . Insbesondere kannst du dehomogenisieren. Dann kannst du den Fundamentalsatz der Algebra anwenden und wieder homogenisieren (denn weder $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ teilt im Fall $\begin{eqnarray} q \equiv 0 \end{eqnarray}$ dein Polynom). Viele Grüße.
14.04.2013, 01:02	Christina90	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank! Dein Gedankenanstoß mit dem Dehomogenisieren hat mir sehr weitergeholfen

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