Kurvendiskussion - Nullstellenproblem

14.04.2013, 01:05

Tipso

Kurvendiskussion - Nullstellenproblem

Hallo,

$\begin{eqnarray*} y(x) = -x³ +6x² - 11 x + 6 \end{eqnarray*}$

Womit fange ich hier wohl am besten an?
Nullstellen

a.
Faktorisieren geht wegen der konstante 6 nicht.

b.
Substutition geht nicht, weil meine Hochzahl ungerade ist.

c.
Polynomdivision - ich brauche dafür eine Nullstelle.

d.
Ich muss entweder Polynomdivsion oder Horner anwenden.
Nullstelle lässt sich durch den Teiler von meiner konstante ermitteln, da sich darin meine Nullstellen alle befinden.

Durch Teiler gefundene Nullstelle = 2

Wichtig wäre hier, wenn ich eine positive Hochzahl habe aber ein negatives Vorzeichen.

-x^4
-(2)^4= -16
nicht
-2^4 = 16

stimmt glaube ich oder?

2. Schritt

Mein um ein Grad verkleinertes Polynom $\begin{eqnarray*} y(x) = -x^2 + 4x - 3 \end{eqnarray*}$
Notation richtig?

Jetzt verwende ich die PQ-Formel um weitere Nullstellen zu erhalten.
Um die PQ-Formel anwenden zu dürfen, multipliziere ich mein Polynom mit -1.
$\begin{eqnarray*} y(x) = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

N_1 = 2

N_2 = 3

N_3 = 1

Was lässt sich noch über mein Polynom sagen?
Es hat zwischen 1 - 3 Nullstellen.(In unserem Beispiel hat es 3).
Es kommt von unten und geht nach oben, es muss also die y-Achse schneiden.

Vorkommen von Extremp. und Wendep. lässt sich noch nicht sagen.
Soweit richtig?
Dann fahre ich mit Extremp. + Wendep. fort.

lg

14.04.2013, 01:14

Tipso

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Fortsetzung:

$\begin{eqnarray*} y(x) = -x³ +6x² - 11 x + 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)' = -3x^2 +12x - 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)'' = -6x +12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)''' = -6 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------
Was lässt sich über Extremp. sagen?
Ich habe hier die Option die PQ-Formel zu verwenden -
Dafür müsste ich die Gleichung durch -3 dividieren.
Alternative = ABC-Formel.

$\begin{eqnarray*} y(x)' = x^2 -4x + \frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

E_1 = (4,768874| -18,459 )

E_2 = (2| 0 )

*Etwas ist hier falsch!!!!
Es müsste nach den y-Werten meines Extrp. umgekehrt sein. verwirrt

$\begin{eqnarray*} y(4,768874)'' = -6x +12 = - 16,6 = H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(2)'' = -6x +12 = 0 \end{eqnarray*}$

Ausgebesserte Version.

Ich habe hier eine Nullstelle, einen Extremp. und die krümmung ist 0.
Es handelt sich hier anscheinend um einen Sattelp.(stelle)
-----------------------------------------------------

WP

Bedingung - 2 Ableitung 0 stellen.
Da ich einen Extremp. habe, muss ich auch einen Wp haben.

$\begin{eqnarray*} 0 = -6x +12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

Ich habe einen Wp bei x = 2 also beim Sattelp.

Ich setze dies in die dritte Ableitung ein.

$\begin{eqnarray*} y(x)''' = -6 \end{eqnarray*}$
Diese ist immer ungleich null, also handelt sich mein Wp um ein Sattelp. und es ist mein einziger Wp. verwirrt

14.04.2013, 17:55

Tipso

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Meinen Fehler finde ich hier leider immer noch nicht.

Was ich weiß, es muss ein T sein und nicht ein H.

Spricht für einen Vorzeichenfehler verwirrt

14.04.2013, 22:16

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} y(x) = -x³ +6x² - 11 x + 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)' = -3x^2 +12x - 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)' = x^2 -4x + \frac{11}{3} \end{eqnarray*}$ ???

schreib bitte keine Romane.

die letzte Ableitung ist falsch, du darfst eine Funktion nicht mit irgendwas multiplizieren.

du meinst
$\begin{eqnarray*} -3x^2 +12x - 11 = 0 \end{eqnarray*}$

das kann man nun mit abc-Formel lösen oder mit -3 teilen um pq - Formel verwenden zu können...

14.04.2013, 22:40

Tipso

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ich darf also eine Funktion weder mit etwas mutliplizieren noch dividieren. Hauptfunktion.

Aber das mache ich doch mit auch verwirrt

:

$\begin{eqnarray*} -3x^2 +12x - 11 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 -4x + \frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------

14.04.2013, 22:45

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} y(x)' = -3x^2 +12x - 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)' = x^2 -4x + \frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

doch, siehe Zitat