Eigenwertproblem - Beweis

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Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertproblem - Beweis
Hallo, liebe Mathematiker!

Hier ein neuerliches Anliegen. Für die Übung sollen wir folgende Aufgabe lösen:

Beweisen Sie, dass die Eigenwerte von genau die Zahlen  sind, fur die



gilt, wobei die Einheitsmatrix ist. Zeigen Sie, dass sich fur jeden Eigenwert ein
Eigenvektor finden lässt.

Ich muss ehrlich sagen, keine Ahnung, wie man das beweisen kann. Bitte um Hilfe!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwertproblem - Beweis
Wie habt ihr denn die Eigenwerte definiert?
Am üblichsten wäre wohl die Definition über die Gleichung , aber dann würde der zweite Teil der Aufgabe keinen Sinn ergeben...
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wir haben eben mit dieser Gleichung begonnen:



ist der Eigenwert von A. x ist der Eigenvektor, der um diesen Skalar gestreckt wird.

Vielleicht kann man ja mit der Gleichung anfangen. Mir fehlt zum Verständnis, wie man nach dem Umformen dann auf die Determinante kommt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, bei euch heißt per Definition Eigenwert, wenn es einen Vektor ("Eigenvektor") mit gibt?
Dann ist doch aber direkt aus der Definition klar, dass es zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor gibt verwirrt

Naja, ist bekannt, dass eine quadratische Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante ungleich Null ist?
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau =)

Da klingelt was, haben wir gemacht. Hmm, bitte hilf mir nochmal auf die Sprünge - warum brauche ich diese Bedingung? (invertierbare Matrix)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Kern leer ist – d.h. wenn sie keinen Vektor außer dem Nullvektor auf die Null abbildet.
 
 
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und weil das Erfüllen muss, nehmen wir die Determinante als 0 an, um die Eigenwerte zu berechnen.

Aber das ist doch kein Beweis verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das ganze sauber aufschreiben würdest, schon.
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiers mal:

Ausgangspunkt - Eigenwertproblem:





Wir gehen davon aus, dass



Darum suchen wir die Lösung für:



ist eine quadratische Matrix, darum genau dann invertierbar, wenn

Man erhält nun ein Polynom n-ten Grades, welches genau n Nullstellen - hier Lösungen für - hat.

Fehlt noch was?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kris_

Falsch rum.

Zitat:
Wir gehen davon aus, dass



Darum suchen wir die Lösung für:


Wieso? Und was suchen wir eigentlich?

Zitat:
ist eine quadratische Matrix, darum genau dann invertierbar, wenn

Auch wenn du mit eigentlich meinst, stimmt da etwas nicht.

Zitat:
Man erhält nun ein Polynom n-ten Grades, welches genau n Nullstellen - hier Lösungen für - hat.

Wieso? Und wieso interessiert das?

Zitat:
Fehlt noch was?

Kommt darauf an, was du machen wolltest?
Was wolltest du zeigen, was setzt du dabei voraus, was tust du dann?
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, neuer Versuch. Jetzt mit Hilfe des Internets:

Ist V ein Vektorraumüber und eine lineare Abbildung von V in sich,so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor , der durch f auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird:



Den Faktornennt man dann den zugehörigen Eigenwert.

Hatfür ein dieGleichung



eine Lösung (derNullvektor ist natürlich immer eine Lösung),so heißtEigenwert von f.
Jede Lösung heißt Eigenvektor von f zum Eigenwert.

Man kann in einem endlichdimensionalen Vektorraum den Endomorphismus auch durch eine quadratische Matrix beschreiben.





Diese Gleichung stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Diese Gleichung ist genau dann lösbar, wenn gilt:


(diese Stelle verwirrt mich leider immer noch, wieso kommt durch Umformen jetzt plötzlich die Determinante daher? - bin nicht so gewieft bei Matrizen)

jetzt bekommt man eben das Polynom n-ten Grades, welches n Nullstellen hat. Diese Nulstellen sind die gesuchten Eigenwerte.

Danke für die Geduld!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kris_
jetzt bekommt man eben das Polynom n-ten Grades, welches n Nullstellen hat. Diese Nulstellen sind die gesuchten Eigenwerte.

Woher das kommt und was das nützen soll, hast du immer noch nicht gesagt.
Und auch nicht, was du überhaupt tust.


Zu zeigen ist folgende Äquivalenz für und eine quadratische Matrix :
Es gibt genau dann einen Vektor mit (d.h. die Gleichung hat eine nichttriviale Lösung), wenn gilt.
Ich sehe nicht, wo du diese Äquivalenz zeigst...
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok... Forum Kloppe

Ich kapituliere.. Tut mir leid, aber ich bin mit meinem Latein gerade am Ende. Wie genau kann ich diese Äquivalenz zeigen?

Hilfe
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fang doch mal damit an, umzuformen und eine Bedingung für die nichttriviale Lösbarkeit der Gleichung anzugeben.
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gut...

Umformen.





wobei I die Einheitsmatrix ist.

Diese Gleichung kann erfüllt sein, wenn , oder, da wir ja die nichttriviale Lösung suchen, die Klammer muss 0 ergeben.

Nur, wie gesagt, mir ist noch immer nicht ganz klar, was die Determinante jetzt genau damit zu tun hat.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kris_
die Klammer muss 0 ergeben.

Wie kommst du denn darauf?
Wann hat ein homogenes, lineares Gleichungssystem denn nichttriviale Lösungen?
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Schule ist noch nicht allzu lang her... *seufz*

Hab jetzt basierend auf deinem Tip nochmal das netz durchstöbert. Zusammenfassend steht da, dass es eine nichttriviale Lösung gibt, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, oder wenn die Determinante gleich 0 ist.

Das heißt, wenn , dann muss gelten:



Bitte sag, dass das der richtige Weg ist Ups
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn nicht invertierbar ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn gilt.
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Woohoo Gott

Gut, erm, wäre ich damit fertig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zumindest wäre ich jetzt mit der Aufgabe fertig.
Wenn du den Lösungsweg nachvollziehen und sauber aufschreiben kannst, bist du auch fertig.
Kris_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habs endlich kapiert, auch wenns lang gedauert hat.
Vielen vielen Dank!! Blumen
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