N(epsilon) bestimmen

14.04.2013, 14:00

Robert90

N(epsilon) bestimmen

Meine Frage:
Bestimme den Grenzwert der angegebenen Folge und bestimme
zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ .

Setze speziell $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

Die Folge lautet:
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2+n+3}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ für n aus den natürlichen Zahlen.

Meine Ideen:
Also für den Grenzwert habe ich 1 rausbekommen. Aber meine Frage bezieht sich auf den zweiten Teil der Aufgabe. Und zwar setzte ich nun meinen Grenzwert ein und erhalte:
$\begin{eqnarray*} |\frac{n^2+n+3}{n^2+1}-1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da der Zähler in meinem Bruch immer größer ist als der Nenner, ist der Bruch immer größer als 1 und daher ist der Ausdruck innerhalb der Betragsstriche immer größer 0. Also kann ich die Betragsstriche weglassen.
Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+3}{n^2+1}-1 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich forme nun um und erhalte:

$\begin{eqnarray*} n^2+n+3-(n^2+1)<\epsilon * (n^2+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+2< \epsilon * (n^2+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon n^2-n+ \epsilon -2 \end{eqnarray*}$

Ich möchte ja so umformen, dass ich dann stehen habe: ... < n oder so ähnlich. Aber hier stehe ich an. Denn wenn ich jetzt etwa die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwende, dann habe ich unter dem Wurzelausdruck immer eine negative Zahl.

Bin über jeden Tipp dankbar smile

14.04.2013, 16:36

Algebrafan

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Versteh ich das richtig?

Du möchstest ein N in Abhängigkeit von Epsilon finden, sodass für alle n>=N gilt:

$\begin{eqnarray*} | a_{n} -a | < E \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, dann schau dir nochmal folgendes an:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+3}{n^2+1} -1 \end{eqnarray*}$

Stelle 1 als Bruch dar, damit du die beiden Terme zusammenfassen kannst und vereinfache.

Dann solltest du auf etwas vernünftiges kommen Augenzwinkern

14.04.2013, 16:37

Helferlein

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Dein Fehler ist, dass Du versuchst das kleinste N zu bestimmen. Das ist aber nirgends gefordert.
Schätze deinen Term nach oben ab und bestimme dann zu diesem leichteren Term das N.

14.04.2013, 17:15

Robert90

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$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n+3}{n^2+1}-1 = \frac{n^2+n+3}{n^2+1}-\frac{n^2+1}{n^2+1}=\frac{n+2}{n^2+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ok ich habe die beiden Terme jetzt zusammengefasst, aber jetzt bin ich eigentlich doch wieder da wo ich schon war oder?
Ich verstehe nicht wirklich wie mir das helfen soll verwirrt

Übrigens: Ich möchte den Ausdruck so darstellen, dass ich dann irgendein Epsilon einsetzen kann und dann ein n bekomme, damit ich weiß ab welchem Folgeglied die Folge kleiner Epsilon ist.

14.04.2013, 17:45

Helferlein

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Zitat:

Original von Helferlein
Schätze deinen Term nach oben ab und bestimme dann zu diesem leichteren Term das N.

Davon sehe ich bisher nichts.

Falls Du nicht weisst, was damit gemeint ist: $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^2+1} \leq...<\epsilon \end{eqnarray*}$

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