Extremwertaufgabe - Baumstamm

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe - Baumstamm
Hallo,
Zitat:
In einem Sägewerk sollen aus zylinderförmigen Baumstämmen mit dem Durchmesser D möglichst tragfähige quaderförmige Balken geschnitten werden. Dabei ist die Tragfähigkeit Teines Balkens direkt proportional zur Breite b und zum Quadrat der „Dicke“ h des Balkens:also T=c⋅b⋅h^2 (Hier ist c eine Materialkonstante, die je nach Material – Ahorn, Birke,Buche, Esche, ... oder auch: Stahl, ... – verschieden ist).Berechnen Sie die Dimensionen eines idealen Balkens und zeigen Sie, dass diese vom gewählten Material unabhängig sind.(D = 40 cm)



Vorgehensweise:

Volumensformel für Quader -

Hb =
*
Warum nehme ich hier das Quadrat von der Höhe? verwirrt

Warum:

NB =

Nebenbedingung - Durchmesser unseres Baumstammes ist die Diagnonale des Quaders, dass wir suchen, dessen Seiten sind x, y, welche mit D ein rechtw. Dreieck bilden.


Wichtig: c = konstant.

Wir haben also 2 Variablen.

Schema:
Nb umformen und eine Variable in Hb einsetzen, ableiten, Variable ausrechnen, diese wieder in Nb einsetzen um zweite Variable auszurechnen.
Dabei ist es egal auf welche Variable ich meine NB umforme.











| d = konstant verwirrt

|null setzen der Ableitung






Setze ich jetzt in die NB






Zitat:
zeigen Sie, dass diese vom gewählten Material unabhängig sind.

Wie zeige ich dies?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von Tipso
Volumensformel für Quader -

Hier fängt der Unfug schon an. T ist die Tragfähigkeit des Balkens und hat mit dessen Volumen nichts zu tun.

Zitat:
Original von Tipso
Warum nehme ich hier das Quadrat von der Höhe? verwirrt

Lies mal genau den Text der Aufgabe. Es geht (wie schon erwähnt) um die Tragfähigkeit des Balkens und diese ist proportional zum Quadrat der Höhe.

Zitat:
Original von Tipso
Nebenbedingung - Durchmesser unseres Baumstammes ist die Diagnonale des Quaders, dass wir suchen, dessen Seiten sind x, y, welche mit D ein rechtw. Dreieck bilden.

Warum nimmst du hier die Variablen x und y, wo doch in der Aufgabe die Breite b und die Dicke h als Bezeichnungen vorgegeben sind?

Zitat:
Original von Tipso
Dabei ist es egal auf welche Variable ich meine NB umforme.

Na ja, egal mit Einschränkungen. Die Trägheitsformel (= HB) lautet (meinetwegen mit x und y): T = c * x * y² .
Da ist es natürlich praktischer, wenn du deine Nebenbedingung nach y² auflöst und das in die HB einsetzt. Da kannst du dir auch das Wurzelziehen sparen.

Zitat:
Original von Tipso


| d = konstant verwirrt

Nach Einsetzen der NB in die HB ist das T nur noch von x abhängig. Außerdem solltest du aus der Dicke D aus dem großen D nicht ein kleines d machen. unglücklich
Richtig ist also:



Den Rest kannst du jetzt weiter machen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Tipso
Volumensformel für Quader -

Hier fängt der Unfug schon an. T ist die Tragfähigkeit des Balkens und hat mit dessen Volumen nichts zu tun.



aber ich nehme dessen Volumen als meine Hb. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Bitte sehr, wenn du unbedingt willst. Nur hat das nichts mit der Aufgabe zu tun. Es geht ja nicht um das maximale oder minimale Volumen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel ist ja in der Angabe gegeben.

b*h*h

breite * höhe * höhe (c konstante - eigentlich unwesentlich, da sie sich nicht ändert spielt das Material beim Verhältnis auch keine Rolle).


Ich habe hier etwas missverstanden bzw. mit anderen Aufgaben vertauscht. (Es muss nicht zwangsläufig um Volumen gehen).

Außer meinen Notationsfehlern passt es ja. Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sind wir uns ja einig. Augenzwinkern Daß die Konstante c unwesentlich ist, soll ja im Rahmen der Extremwertbestimmung nachgewiesen werden.
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Der Beweis lässt sich rechnerisch hier finden.
Ich kann durch c kürzen. verwirrt

|null setzen der Ableitung






b.

Offen bleibt noch die Frage nach dem Verhältnis:

Also ich nehme ummehr y als x.

*
Ist so eine Aussage richtig? (gültig).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Es ist immer mühsam, wenn im Laufe einer Rechnung die Variablenbezeichnungen wechseln. Bei mir würde es für sowas auch massiven Punktabzug geben. Ursprünglich war die Dicke D statt d . Aus ergibt sich erstmal, daß die Breite x (wurde auch mal als b bezeichnet) unabhängig von c ist. Nun mußt du noch aus der Nebenbedingung die Höhe y (wurde auch mal als h bezeichnet) bestimmen. Aus x und y bildest du dann das Verhältnis.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Hi,

Danke für den Tipp. Ich werde auf durchgehen gleiche Bezeichnungen achten.


NB =








Wie bilde ich nun das Verhältnis? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von Tipso


NB =





wenn du schlampig wirst, dann wird das nix.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm


Wurzel beide Seiten.





Eine Regel die mir nicht ganz bewusst ist führt zu:



anderer Versuch:

Ich darf nicht so umformen aufgrund der Summenregel verwirrt





Warum darf ich hier nicht von beiden Seiten die Wurzel ziehen?













lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von Tipso


Wurzel beide Seiten.





ich habe dir doch lang und breit ( gestern ? ) erklärt dass das nie geht.

die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln.


Zitat:













schon besser !
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Hi,

Fehlt noch das Verhältnis zwischen den Werten.







Ps.
Ich bin off., sehr müde und etwas krank.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm











Jetzt ist der Unterschied auch sichtbar, ich weiß nicht genau wie ich diesen angeben soll aber der Unterschied beträgt.

Wie sieht dies rechnerisch aus?
Ich setze gleich? verwirrt

Ergebnis würde wohl so aussehen:



Im Verhältnis Höhe mal die Wurzel aus zwei zu x.

lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von Tipso
Ergebnis würde wohl so aussehen:



Unfug. Es ist

Folglich ist die Höhe das Wurzel(2)-fache der Breite.

(Auch hier nutzt du in wahlfreier Weise mal D und mal d für die Dicke D. unglücklich )

Zitat:
Original von Tipso
Warum darf ich hier nicht von beiden Seiten die Wurzel ziehen?

Weil es eben falsch ist, wie man leicht an dieser Rechnung sieht:
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Es ist Folglich ist die Höhe das Wurzel(2)-fache der Breite.


Ich habe doch genau diesen Sachverhalt in einer Gleichung wiedergegeben.

Habe heir wohl ein Notationsproblem. (gemeint war es richtig von mir, was wohl für einen Prüfer nichts wert sein dürfte).



hier gilt h = y



Drückt dies nicht mein Verhältnis aus.
zu x - im Verhältnis.

So könnte man es auch als Gleichung interpretieren, in diesem Fall ist es natürlich nicht gleich, ich muss mit multiplizieren. Bzw. mit erweitern. verwirrt


lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Baumstamm
Zitat:
Original von Tipso
Habe heir wohl ein Notationsproblem. (gemeint war es richtig von mir, was wohl für einen Prüfer nichts wert sein dürfte).



Neben einem Notationsproblem hast du auch ein Verständnisproblem. Es gilt eben und nicht . Oder anders gesagt: das Verhältnis der Höhe h zur Breite x (oder b) ist gleich Wurzel(2). smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde ich so mein Verhältnis anschreiben.

h ist dann das Gleiche wie x, wenn x mit wurzel(2) multipliziert wird. (schriftlich).

Der gesuchte Baumstamm ist h * wurzel(2) so lang wie breit.

ist es jetzt richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
h ist dann das Gleiche wie x, wenn x mit wurzel(2) multipliziert wird. (schriftlich).

Etwas umständlich. Warum nicht gleich sagen, daß h = Wurzel(2) * x ist?

Zitat:
Original von Tipso
Der gesuchte Baumstamm ist h * wurzel(2) so lang wie breit.

ist es jetzt richtig?

Nein. Die Höhe h ist das Wurzel(2)-fache der Breite x. Also ist der Baumstamm Wurzel(2) mal so hoch wie breit.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Danke Freude .
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Nach meiner Nachbearbeitung habe ich eine Frage:

Wie erkläre ich in einem Satz, dass die Materialkonstante (c) nicht wichtig ist?

Meine Antwort wäre:

Da man im Laufe der Rechnung durch c kürzen kann, ist diese nicht wichtig für die Tragfähigkeit des Balkens.

lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, die Materialkonstante c hat durchaus einen Einfluß auf die Tragfähigkeit des Balkens. Je größer das c ist, desto größer ist auch die Tragfähigkeit. Jedoch hat die Materialkonstante keinen Einfluß auf die Form des Balkens, bei der die optimale (maximale) Tragfähigkeit erreicht wird. Und man erkennt das daran, daß in den Maßen für Breite und Höhe das c nicht enthalten ist. Wie es dazu kommt, ob durch Kürzen oder was auch immer, ist im Grunde unerheblich.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

es klingt aber absurd, dass es keinen Unterschied macht ob ich Stahl oder Holz nehme.

lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann ein Stahlträger mehr Gewicht tragen. Aber die optimale Form, wenn man den Träger aus einem Zylinder schneidet, ist dieselbe. Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, Freude

Optimale länge - breite für die Tragfähig. bleibt gleich. Freude (maximal, egal um welchen Stoff es sich handelt).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Rock
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würde hier hier das Verhältnis zu D messen?

lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, verstehe jetzt die Frage nicht. verwirrt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zuvor eine Frage:

Die Dicke h entspricht der Höhe?

Was ist hier die Querschnittshöhe?

---------------------------------------------------

Gefragt ist die tragfähigste Form.
Wir haben die Antwort für die x und y-Wert.

Der D-Wert ist ja schon angegeben.
Ich will nun das Verhältnis für die optimalste Form zum D wissen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das war doch alles schon geklärt:
Zitat:
Original von klarsoweit
Die Höhe h ist das Wurzel(2)-fache der Breite x. Also ist der Baumstamm Wurzel(2) mal so hoch wie breit.

Ich weiß jetzt nicht, was du noch willst. Und statt "Höhe" kannst du auch das Wort "Dicke" verwenden.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

a.
Querschnitt der Höhe ist dasselbe wie die Höhe?

b.
Wenn ich das Verhältnis von D zu x bzw. y berechnen will, dann dividiere ich diese durch D.

Mit D habe ich hier Durchmesser gemeint.
Tut mir leid, es war von mir nicht genau genug angegeben.(Ich habs erst selber jetzt richtig verstanden).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
a.
Querschnitt der Höhe ist dasselbe wie die Höhe?

Also man kann vom Querschnitt des Baumstamms reden. Aber "Querschnitt der Höhe"? Was soll das sein?

Zitat:
Original von Tipso
b.
Wenn ich das Verhältnis von D zu x bzw. y berechnen will, dann dividiere ich diese durch D.

Ja.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Querschnitt des Baumes. Freude

ist dasselbe wie der Durchmesser nehme ich an. Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Babylonische Sprachverwirrung. Ich würde das so sehen: der Querschnitt des Baumes hat den Durchmesser D.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hahahha

War zwar etwas zynisch aber was solls. Big Laugh
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