Nullteilerfreiheit zeigen

14.04.2013, 14:39	Plants	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullteilerfreiheit zeigen Hallo! Ich habe gezeigt, dass $\begin{eqnarray} X:=\left\{ \begin{pmatrix} a & 3b \\ b& a & \end{pmatrix}\in \mathbb Z^{2\times 2} :a,b\in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray}$ ein kommutativer Ring bezüglich den Standardoperationen in R ist. Ich will allerdings noch die Nullteilerfreiheit zeigen. Hierfür nehme ich mir A, B aus X mit A und B ungleich der 0-Matrix. Dann: $\begin{eqnarray} AB=\begin{pmatrix} a_1 & 3a_2 \\ a_2& a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1& 3b_2 \\ b_2 &b_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1b_1+3a_2b_2 & 3(a_1b_2+a_2b_1) \\ a_1b_2+a_2b_1 & a_1b_1+3a_2b_2& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgen folgende zwei Gleichungen: I: $\begin{eqnarray} a_1b_2+a_2b_1=0 \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} a_1b_1+3a_2b_2=0 \end{eqnarray}$ Hieraus will ich jetzt zeigen, dass entweder folgt, dass sowohl a1 und a2 Null sind oder sowohl b1 als auch b2 gleich Null sind. Das gelingt mir aber nicht. Ich habe bereits versucht durch Einsetzen irgendwas zu erreichen, durch Gleichsetzen, durch Addition und durch Multiplikation. Kann mir jemand helfen? Grüße
14.04.2013, 15:05	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullteilerfreiheit zeigen hallo, man kann das mit der nullteilerfreiheit elegant über determinanten beweisen, es gilt nämlich bei nxn-matrizen det(AB)=detAdetB, das heisst ein nullteiler müsste hier auch die determinante 0 haben, und jetzt musst du dir noch überlegen, warum eine matrix (a 3b * b a) mit ganzzahligen a und b ausser bei a und b =0 nicht die determinante 0 haben kann... gruss ollie3
14.04.2013, 15:13	Plants	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullteilerfreiheit zeigen Ich danke dir ganz herzlich! Habe es nun mit Hilfe deines Vorschlags hinbekommen.

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