Beweis zu einer bestimmten Determinante

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Beweis zu einer bestimmten Determinante
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte für und beweisen, dass gilt

Meine Ideen:
Ich bin ehrlich, ich habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll. Ich vermute, dass eine der Formeln zur determinanten Berechnung (z.B. Leibniz-Formel) hier relativ einfach das gewünschte Ergebnis liefert.

Ich bekomme jedoch einfach keinen Ansatz hin. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu einer bestimmten Determinante
Vielleicht hilft dir eine Google-Suche zum Stichwort "Begleitmatrix".
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RE: Beweis zu einer bestimmten Determinante
Zitat:
Original von Che Netzer
Vielleicht hilft dir eine Google-Suche zum Stichwort "Begleitmatrix".


Bedingt. Diese Matrix sieht meiner zumindest schon mal ähnlich. Ich habe inzwischen herausgefunden, dass es sich wohl um die Begleitmatrix eines Polynomes handelt und es scheint, als könnte man ein Polynom durch die Determinante dieser Matrix darstellen.

Der richtige Ansatz ist wohl eher Entwicklung nach Laplace. Am besten so, dass ich eine Matrix erhalte, die nur -1 auf der Diagonale stehen hat. So richtig weiter, weiß ich jedoch noch immer nicht unglücklich
Algebrafan Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten vor einer Weile eine ziemlich ähnliche Aufgabe.

Allerdings standen bei uns in der Diagonalen nur 0 en. Unter der Diagonale standen positive 1en.
und in der letzten Spalte standen die selben unbekannten, allerdings mit negativem Vorzeichen.

Das Ergebnis war dann, wie du sagst, ein Polynom vom Grad n mit den Koeffizienten der letzten Spalte.

Und man musste lediglich nach der letzten Spalte entwickeln und aufpassen, dass man alles sorgfältg aufschreibt. Ich weiß net , ob dir das nun hilft...später, wenn ich Zeit habe, würde ich versuchen, die Aufgabe auf die selbe Art zu lösen und poste dann nochmal etwas dazu Augenzwinkern
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Zitat:
Original von Algebrafanspäter, wenn ich Zeit habe, würde ich versuchen, die Aufgabe auf die selbe Art zu lösen und poste dann nochmal etwas dazu Augenzwinkern


Das wäre wirklich super! Ich werde mich ebenfalls mal an einer Lösung versuchen. Danke dir schon mal vorab
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Dies lässt sich mittels vollständiger Induktion beweisen. Entwicklung mittels Laplace nach und , wobei die Entwicklung nach auf eine analoge Determinante mit einer Spalten-/Zeilenzahl weniger führt (hier kommt die Induktion rein), während die Unterdeterminante bei der Entwicklung nach über eine rekursive Laplace-Entwicklung einfach bestimmt werden kann (sie ist gleich der Zahl ).
 
 
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RE: Beweis zu einer bestimmten Determinante
Ich habe nun wie folgt entwickelt:


Beweis durch Induktion. IA:


IS:


Nun weiß ich nicht, wie es hier weitergehen soll. Ist die Determinante im zweiten Summanden ? Ich bin mir nicht sicher. Die Matrix sieht fast wie eine Diagonalmatrix aus. Lediglich die oberhalb der Diagonale stören mich.

Kann mir jemand weiterhelfen?
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RE: Beweis zu einer bestimmten Determinante
Zitat:
Original von Spitzname:

Sorry, hier stand eigentlich nur . Also ohnehin nichts spannendes.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine obere Dreiecksmatrix hast, dann ist egal, was über der Hauptdiagonale steht. Die Determinante ist einfach das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Induktionsschritt kannst du doch die behauptete Formel als Induktionsbehauptung benutzen. Also





und davon ausgehend auf



schließen. Die Kette ist natürlich bei zu Ende.
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Zitat:
Original von RavenOnJund davon ausgehend auf



schließen. Die Kette ist natürlich bei zu Ende.


Wie genau muss ich mir das vorstellung. Wie genau ist im Induktionsschritt gewählt? Die Matrix hat ja Zeilen und Spalten. Gehe ich im Induktionsschritt dann nach hat sie Zeilen und Spalten. Im Grunde habe ich es verstanden, aber ich weiß nicht, wie ich es im Induktionsschritt genau zu notieren habe.

Vielleicht könntest du mir noch mal kurz helfen. Vielen Dank vorab an Dich.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es lässt sich mit Laplace schreiben



Ganz rechts in der 1. Zeile steht eine obere Dreiecksmatrix. Die Determinante davon ist einfach das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale. In der 2. Zeile kommt die Induktionsbehauptung rein.
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