Abschluss von Vereinigungen ist Vereinigung vom Abschluss

14.04.2013, 17:01

Michi1987**

Abschluss von Vereinigungen ist Vereinigung vom Abschluss

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} (X, \tau) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum. Zeige, dass für die Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq X \end{eqnarray*}$ die folgende Eigenschaft bezüglich des Abschlusses gilt:

$\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B} = \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre folgender:

$\begin{eqnarray*} (1)\;\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Wegen\; A \subseteq A \cup B \subseteq \overline{A \cup B}\; und\; \overline{A\cup B}\;abgeschlossen\;,\; gilt\; \overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Wegen\; B \subseteq A \cup B \subseteq \overline{A \cup B}\; und\; \overline{A\cup B}\;abgeschlossen\;,\; gilt\; \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\;\overline{A}\cup\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\;Sei\;x\in \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\;x\in A\cup B\lor\;x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Fall\;1: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in A\cup B \Rightarrow x\in A \lor x\in B \Rightarrow x\in \overline{A} \lor x\in \overline{B} \Rightarrow x\in \overline{A}\cup\overline{B}[/latex<br /> <br /> [latex]Fall\;2: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A\cup B} \land x\not\in A\cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A}\setminus A \lor x\in\overline{B}\setminus B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in\overline{A}\lor x\in\overline{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$

14.04.2013, 17:05

Michi1987**

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RE: Abschluss von Vereinigungen ist Vereinigung vom Abschluss

Zitat:

Original von Michi1987**
Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} (X, \tau) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum. Zeige, dass für die Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq X \end{eqnarray*}$ die folgende Eigenschaft bezüglich des Abschlusses gilt:

$\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B} = \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre folgender:

$\begin{eqnarray*} (1)\;\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Wegen\; A \subseteq A \cup B \subseteq \overline{A \cup B}\; und\; \overline{A\cup B}\;abgeschlossen\;,\; gilt\; \overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Wegen\; B \subseteq A \cup B \subseteq \overline{A \cup B}\; und\; \overline{A\cup B}\;abgeschlossen\;,\; gilt\; \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\;\overline{A}\cup\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\;Sei\;x\in \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\;x\in A\cup B\lor\;x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Fall\;1: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in A\cup B \Rightarrow x\in A \lor x\in B \Rightarrow x\in \overline{A} \lor x\in \overline{B} \Rightarrow x\in \overline{A}\cup\overline{B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Fall\;2: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in \overline{A\cup B}\setminus A\cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A\cup B} \land x\not\in A\cup B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A}\setminus A \lor x\in\overline{B}\setminus B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in\overline{A}\lor x\in\overline{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$

14.04.2013, 18:01

Lurchi_der_Lurch

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the proof of $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cup\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$ is okay

you use that $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ is the intersection of all closed sets that comprehend A [and the same for B]

but the other implication is not okay imho

because the second implication in the second case is not right i think because x has not to be in $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cup\overline{B} \end{eqnarray*}$ because [as you showed] it can be a real subset of $\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$

the proof of this implication is not very difficult if you remember the definition of topologies [which feature is there for the union of closed sets?]

and then you can again use that the closure is the smalles closed set

with regards

Lurchi

14.04.2013, 20:36

Michi1987**

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Okay, so i think i have the solution:

I know that

$\begin{eqnarray*} A \cup B \subseteq \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$

i also know that $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$ is a closed set because it is an union of closed sets.

But $\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$ should be the smallest closed set which includes $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A\cup B} \end{eqnarray*}$

14.04.2013, 20:58

Lurchi_der_Lurch

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yes

$\begin{eqnarray*} \overline{A}\cup\overline{B} \end{eqnarray*}$ is closed [you gave the reason why] and $\begin{eqnarray*} A\cup B\subseteq \overline{A}\cup\overline{B} \end{eqnarray*}$

so $\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B}=\cap_{M\mbox{ closed}, A\cup B\subseteq M}M\subseteq \overline{A}\cup\overline{B} \end{eqnarray*}$

so both inclusions are shown and what follows is the identity

with regards

Lurchi

14.04.2013, 23:32

sulo

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Bitte beachtet, dass in diesem Board Hilfe auf Deutsch erfolgen soll.

Die Threads werden auch von vielen interessierten Studenten/Schülern/interessierten Laien gelesen, die vielleicht nicht so firm im Englischen sind oder die Fachterminologie in einer anderen Sprache (noch) nicht verstehen.

Daher sollte der Austausch nicht in Englisch, sondern auf Deutsch erfolgen.

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.

15.04.2013, 08:34

Lurchi_der_Lurch

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hey sulo

german is my problem Big Laugh

or to be more precisely: to express myself in german

i am working on it and meanwhile i should not help here

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