Vektorrechnung im Raum

14.04.2013, 17:26

MarinaP

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Vektorrechnung im Raum

Meine Frage:
Das Dreieck ABC
A(3/7/0)
B(4/0/0)
C(0/y/z>0)
ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe h=Wurzel 3

a)Bestimme die Koordinaten von C so,dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist.
b) Ermittle die Koordinaten der übrigen Eckpunkte

Meine Ideen:
Ich habe die Länge von AB genommen. Das ist Wurzel 50. Da es ein gleichseitiges Dreieck sein soll muss also AC und BC auch Wurzel aus 50 sein. Also habe ich also AC = (-3, y-7, z) und BC = (-4, y, z)
AC² = 50 => (-3)² + (y - 7)² + z² * 50
BC² = 50 => (-4)² + y²+ z² = 50

gemacht. Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Eigentlich sollte man doch die Klammern auflösen und nach y und z auflösen. Leider bekomme ich das aber nicht hin, bei mir kommt immer nur null raus.

ich dankeEuch für Eure Hilfe!

MfG Marina

14.04.2013, 17:32

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Du hast alles beisammen, was zu einem glücklichen Ende gehört:

Zitat:

AC² = 50 => (-3)² + (y - 7)² + z² = 50
BC² = 50 => (-4)² + y²+ z² = 50

Wenn Du jetzt jeweils die Gleichungsseiten von einander abziehst, bleibt eine Gleichung in y übrig - und die kannst Du lösen.

14.04.2013, 18:04

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Ja bei mir kommt aber null raus weil y²-y²=0 ist und z²-z²=0 ist...also bleibt mir ja nix... verwirrt

verwirrt

14.04.2013, 21:43

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Also, so ganz verstehe ich nicht, was Du hier gemacht hast:

(-3)² + (y - 7)² + z² = 50
(-4)² + y²+ z² = 50

Wenn ich die obere Gleichung von der unteren abziehe, erhalte ich:

16-9 + y² - (y-7)² = 0

Und Du musst daran denken, dass (y - 7)² eine zweite binomische Formel ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2013, 14:53

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
warum muss ich gerade die obere von der unteren abziehen und nicht umgekehrt??
und wie mache ich jetzt weiter? jetzt hab ich 16-9 + y² - (y-7)² = 0
stehen...und was mach ich mit dem jetzt ? komme nicht auf das richtige y verwirrt

verwirrt

15.04.2013, 15:01

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
oh doch y= 3
und das jetzt in die Gleichung einsetzen und somit habe ich die Koordinaten C(0/3/5) und deswegen 5 und nicht -5 weil z>0 sein soll...=)

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15.04.2013, 15:20

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
jetzt nummer b)
habe n=ABxAC genommen. weil es ja ein Prisma ist und somit die D,E,F normal auf die Seiten AB und AC und BC stehen. Stimmt das soweit? Leider weiß ich nicht wie ich weitermachen soll weil, Höhe habe ich ja Wurzel 3... verwirrt

verwirrt

15.04.2013, 22:06

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Hallo,

Dein Lösungsansatz ist richtig.

1. Welche Koordinaten hat denn der Punkt D?

2. Wie lautet denn Dein Normalenvektor?

28.04.2013, 16:01

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Mein Normalvektor lautet n=(-7/-1/-5) (gekürzt), stimmt das? Leider weiß ich nicht wie ich die Höhe einbauen soll.....deswegen komme ich leider nicht auf die Koordinaten von D,E,F... verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 16:36

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Hallo,

lange nicht gesehen ... smile

smile

1. Dein Normalenvektor ist richtig.

2. Bestimme den normierten Normalenvektor (der hat die Länge 1) und dann kannst Du einen Normalenvektor mit der Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

3. Mit Hilfe des Normalenvektors mit der Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ kannst Du dann die Ortsvektoren der Eckpunkte berechnen.

29.04.2013, 14:32

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Hallo,

also normierten Normalenvektor habe ich dann:
n_0 = n/|n|= (-0,81/-0,12/-0,58)

stimmt das soweit??

29.04.2013, 14:41

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Ja, das stimmt - aaaaber: Du stellst Dir mit den gerundeten Werten ein Bein:

Der Normalenvektor hat die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{75} = 5 \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , d.h., der normierte Normalenvektor sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{n^0} = \frac1{5 \sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix}-7 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor, den Du brauchst, nämlich die Höhe im Prisma ist aber

$\begin{eqnarray*} \vec h = \sqrt{3} \cdot \overrightarrow{n^0} \end{eqnarray*}$

wodurch sich die $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ auf das geschmeidigste kürzen lässt.

EDIT: ... ich muss nun leider weg, Wink

Wink

angewandte Vektorgeometrie betreiben:

20.05.2013, 14:32

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Für D erhalte ich die Koordinaten (-1,4/-0,2/-1)
Bei meiner Lösung kommt aber was anderes raus.... verwirrt

verwirrt

20.05.2013, 15:21

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Hallo,

1. Der angegebene Vektor stellt den Höhevektor des Prismas dar, $\begin{eqnarray*} \vec h \end{eqnarray*}$ .

2. Nehmen wir an der Punkt D befände sich senkrecht über dem Punkt A, dann ist der Ortsvektor des Punktes D:
$\begin{eqnarray*} \vec d = \vec a + \vec h \end{eqnarray*}$
Dann erhalte ich für D(1,6 / 6,8 / -1)

3. Für die anderen Punkte entsprechend.

4. Vorsorglicher Hinweis: Es gibt noch eine zweite Lösung für das Prisma.

20.05.2013, 15:25

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
und was ist jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ?? verwirrt

verwirrt

20.05.2013, 15:27

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Sorry, mit $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ habe ich den Ortsvektor des Punktes A bezeichnet.

20.05.2013, 15:33

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
ok, dann komme ich auch auf die gleichen Koordinaten bei D. Und für E und F einfach beim Vektor a die Koordinaten für B und C einsetzen =)

20.05.2013, 15:35

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Genau so! Freude

Freude

Damit ist das erste Prisma vollständig bestimmt. Es gibt aber - wie ich schon andeutete - ein zweites Prisma mit genau denselben Abmessungen. Wo?

20.05.2013, 15:36

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
auf der gegenüberliegende Seite. Also einfach den Normalvektor mit der Links- oder Rechts- Kipp- Regel anwenden oder??

20.05.2013, 15:38

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Perfekt! Freude

Freude

20.05.2013, 15:40

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Ok=)
aber warte mal....wäre dass dann n=(5/-1/-7)?? oder einfach nur (5/1/7)??

20.05.2013, 15:48

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Einfach nur (7/1/5) nehmen, habs gerade versucht=)

20.05.2013, 15:56

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
Wenn ich das Volumen ausrechnen möchte, kommt bei mir 4 raus, aber es sollte 37,5 rauskommen verwirrt

verwirrt

20.05.2013, 20:00

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Mir ist nicht ganz klar, was Du wie gerechnet hast, aber:

die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{50} \end{eqnarray*}$
die Flächengröße eines gleichseitigen Dreiecks ist $\begin{eqnarray*} A = \frac14 \cdot s^2 \cdot h \end{eqnarray*}$
die Höhe hat die Länge $\begin{eqnarray*} h = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Das Volumen des Prismas ist V = A * h

Und es kommt tatsächlich das angegebene Ergebnis heraus.

Als Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} V = \underbrace{\frac12\cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}_{\text{dreieckige Grundfläche}} \cdot h \end{eqnarray*}$

22.05.2013, 11:16

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
hey,
ich habe den Fehler gemacht und statt der gegebenen Höhe den Vektor AD hergenommen, also zu umständlich und komplziert. Habe auch in einem Buch von mir stehen, dass AD*(AC x AB) genommen werden muss, dann stimmt das wie es scheint nicht... verwirrt

verwirrt

Habe es jetzt nach deiner Formel gemacht und es kommt bei mir auch das richtige Ergebnis raus=)

Danke dir für deine Hilfe! smile

smile

Eine Kleine Frage hätte ich ncoh zu den Vektoren.
Wenn ich mir die Oberfläche von dem Prisma ausrechnen möchte dann brauch ich die Formel: O=2*G+M(Mantel)
2 mal die Oberfläche ist doch wäre ja dann 2 mal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks und der Mantel wäre ja 3 mal die Fläche des Parallelogramms (AB x Wurzel 3) oder?

22.05.2013, 11:25

Bürgi

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RE: Vektorrechnung im Raum
Moin!

Nur als Ergänzung: Mit

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \end{eqnarray*}$

wird die Flächengröße eines Parallelogramms berechnet. Es fehlt also in dem Term aus Deinem Buch der Faktor $\begin{eqnarray*} \tfrac12 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich habe leider Deinen Zusatz zu spät bemerkt:

1. $\begin{eqnarray*} 2 \cdot G = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \end{eqnarray*}$

Warum steht genau darüber.

2. Der Mantel ist generell bei einem Prisma

$\begin{eqnarray*} M = Umfang \cdot Hoehe \end{eqnarray*}$

und den Umfang kennst Du ja.
(Hoehe ist kein Schreibfehler, aber ö in Latex ist mir zu kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

22.05.2013, 11:39

MarinaP

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RE: Vektorrechnung im Raum
ok, habs schon, ist richtig, danke dir =) smile

smile

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