Uneigentliches Integral

14.04.2013, 18:01

10001000Nick1

Uneigentliches Integral

Meine Frage:
Hallo,

ich soll das folgende uneigentliche Integral berechnen (bzw. prüfen, ob es überhaupt existiert): $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^{-a}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \text{ für ein festes } 0<a<1. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{b \searrow 0} \int_{b}^1 \! x^{-a}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen muss, und dazu brauche ich ja die Stammfunktion. Ich hab es schon mit der Produktregel für Integrale probiert, aber da komme ich dann auch nicht weiter. Mein nächster Versuch wäre Substitution, aber ich habe keine Idee, was ich da substituieren muss.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

15.04.2013, 15:38

10001000Nick1

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Keine Ideen?

15.04.2013, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
(bzw. prüfen, ob es überhaupt existiert)

Versuch's mal mit partieller Integration - Tipp:

$\begin{eqnarray*} u = \sin\left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} u' = -\frac{1}{x^2}\cos\left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ und somit ergänzend als zweiten Faktor $\begin{eqnarray*} v = -x^{2-a} \end{eqnarray*}$ .

15.04.2013, 16:00

Leopold

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Finde eine Majorante.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left| \, x^{-a} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \, \right| ~ \dd x \leq \int_0^1 \text{???} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Die Umformung gilt vorbehaltlich der Konvergenz des Integrals rechts. Jetzt bestimme $\begin{eqnarray*} \text{???} \end{eqnarray*}$ in geeigneter Weise. Denke dabei möglichst einfach. Es wird nicht kompliziert, sondern sehr einfach.

15.04.2013, 16:03

HAL 9000

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Ja richtig - mein Tipp wird erst bei noch größeren $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ benötigt. Hammer

15.04.2013, 16:54

10001000Nick1

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Als Majorante würde mir jetzt folgendes einfallen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left| \, x^{-a} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \, \right| ~ \dd x \leq \int_0^1 \left|x^{-a}\right| ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , denn der Cosinus ist ja immer kleiner gleich 1. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left| \, x^{-a} \cos \left( \frac{1}{x} \right) \, \right| ~ \dd x \leq \int_0^1 \left|x^{-a}\right| ~ \dd x= \left[-\frac{1}{a-1}x^{-a+1}\right]_0^1=\frac{1}{1-a}. \end{eqnarray*}$ Die rechte Seite der Ungleichung konvergiert also. Konvergiert deswegen auch die linke Seite? Das mit der Majorante kannte ich bis jetzt nur bei Reihen.

15.04.2013, 17:25

Leopold

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Laß die Betragsstriche um die Potenz $\begin{eqnarray*} x^{-a} \end{eqnarray*}$ gleich weg. Potenzen mit positiven Basen haben immer positive Werte. Ich würde an der entscheidenden Stelle auch noch darauf hinweisen, warum die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \in (0,1) \end{eqnarray*}$ wichtig ist. Wo geht das denn ein?

Viele Kriterien von Reihen lassen sich auf uneigentliche Integrale übertragen. So hast du jetzt nicht nur die Konvergenz, sondern sogar die absolute Konvergenz des ursprünglichen Integrals nachgewiesen, einfach weil du für das Integral über den Betrag der Funktion eine Majorante gefunden hast.

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