Verknüpfung

14.04.2013, 19:01

mattesjj

Verknüpfung

Meine Frage:
Nabend,

ich habe Probleme folgende Aufgabe zu verstehen und zu lösen.

Finden sie eine Menge M und ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ in Map(M,M), welches ein links-, aber kein rechtinverses Element bzgl. der Verknüpfung (g,f) -> g verknüpft mit f.

Meine Ideen:
Meine Idee ist es zuerst eine nicht kommutative Verknüpfung zu finden, da falls sie kommutativ wäre das linksinverse Element auch rechtsinvers. Allerdings komme ich hier schon nicht weiter.

Außerdem hab ich Probleme mit dem Map(M,M). Ist dies gleichnebdeutend mit M wird abgebildet auf M?

14.04.2013, 20:09

Leopold

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RE: Verknüpfung
Ich vermute, daß $\begin{eqnarray*} \operatorname{Map}(M,M) \end{eqnarray*}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray*} M \to M \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von mattesjj
$\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ in Map(M,M)

Das ergibt keinen Sinn. Ist nun $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m \in \operatorname{Map}(M,M) \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2013, 10:04

mattesjj

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RE: Verknüpfung
Entschuldigung m liegt in map(x,x)

15.04.2013, 20:53

mattesjj

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RE: Verknüpfung
Wir haben noch ein Tipp bekommen und zwar , dass z.B. f(x)=2x . Aber wie wähle ich g damit ich das neutrale Element erhalte. Was ist überhaupt das neutrale Element bei der Verknüpfung zweier Funktionen? X?

15.04.2013, 21:43

Leopold

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Mit der Verknüpfung ist hier die Verkettung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ gemeint. Für $\begin{eqnarray*} f,g \in \operatorname{Map}(M,M) \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ diejenige Funktion mit $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = g \left( f(x) \right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ . Das neutrale Element ist die Identität $\begin{eqnarray*} \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ , das heißt, es gilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}(x) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ .

Was den Vorschlag angeht, so fehlt noch die Angabe von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Ich könnte mir dafür die Menge $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{N} = \{ 1,2,3,\ldots \} \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen vorstellen. Sei also jetzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \end{eqnarray*}$ definiert. Offenbar läßt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die ungeraden natürlichen Zahlen als Werte aus. Jetzt mußt du eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ finden mit

$\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$

Setze hierin $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein und beachte die Definition von $\begin{eqnarray*} f, \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ . Du wirst feststellen, daß $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ "auf der Hälfte der Zahlen" schon feststeht. Und die andere Hälfte?

15.04.2013, 23:56

mattesjj

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Da mit die Gleichung $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist würde ich $\begin{eqnarray*} g(x) = x/2 \end{eqnarray*}$ wählen, denn dan würde ja gelten, $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = g \left( f(x) \right) = 1/2 (2x) =x \end{eqnarray*}$ Soweit richtig?

Und wenn ich nun z.B. das Element 1 betrachte

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(1) = f \left( g(1) \right) = f(1/2) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(1/2) \end{eqnarray*}$ ist nicht bestimmbar,da 1/2 nicht in den natürlichen Zahlen liegt?

Wäre nett, wenn mir jm sagt, ob ich das jetzt richtig verstanden habe

16.04.2013, 06:41

Leopold

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Du mußt eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ angeben, denn in $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ spielt sich alles ab. Die Vorschrift $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$ ist aber für ungerade $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht ausführbar. Beachte den Zielbereich der Funktion. Damit ist dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht korrekt definiert. Was kannst du also tun, ohne das bisher Erreichte zu verlieren? Denn die Grundidee ist ja richtig. Nun, das Stichwort ist: eine Definition durch Fallunterscheidung. Versuche es einmal.

16.04.2013, 12:25

mattesjj

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Also ich lege $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$ für gerade x und ??? für ungerade x.

Komme aber echt nicht drauf was da rein muss? vllt was mit Gaßklammern?

16.04.2013, 13:36

Leopold

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Zitat:

Original von mattesjj
was da rein muss?

"Muß"? Wer redet denn da von "muß"? Ist das wirklich wichtig, was da rein "muß"?
Junge! (Mädchen!) Die ganze Welt steht dir offen! Genieße sie in vollen Zügen! Augenzwinkern

16.04.2013, 15:36

mattesjj

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ahh ich glaube ich habs, ich nehm da einfach irgendeine natürliche zahl und schon passt alles!?

16.04.2013, 17:33

Leopold

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Es ist vollkommen gleichgültig, wie du $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf den ungeraden Zahlen definierst, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} g(x) = 2013 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = 3x + 14 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = \left( \frac{1}{2} \cdot (x+1) \right)^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = A(x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ eine Auswahlfunktion nach dem Auswahlaxiom ist, jeweils mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ungerade. Wenn du nur für gerade $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festlegst: $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$ , dann gilt immer $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ . Insofern gibt es unendliche viele Linksinverse $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

16.04.2013, 19:40

mattesjj

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Danke Leopold !!! smile

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