Substitution

14.04.2013, 22:43

salzboy

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Substitution

$\begin{eqnarray*} /int \frac{x²}{\sqrt{1+x³} } dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=1+x³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z'=3x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{dz}{3x²}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} /int \frac{x²}{\sqrt{z} } \frac{dz}{3x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} /int \frac{1}{\sqrt{z} } \frac{dz}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{1+x³} }<br /> \end{eqnarray*}$

ist das richtig ?

14.04.2013, 22:50

HAB

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RE: Substitution
Nein, du hast das Integrieren vergessen.
Was ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z} } \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2013, 08:58

salzboy

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$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{3}ln(\sqrt{1+x³} ) \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 09:16

klarsoweit

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Auch das ist falsch, wie du leicht durch Ableiten deiner Stammfunktion nachrechnen kannst. smile

smile

15.04.2013, 09:33

salzboy

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ich weiß nicht weiter

15.04.2013, 09:36

klarsoweit

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RE: Substitution
Hier steht die alles entscheidende Frage:

Zitat:

Original von HAB
Was ist die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z} } \end{eqnarray*}$ ?

Und das sollte ja wohl kein Problem darstellen. smile

smile

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15.04.2013, 09:44

salzboy

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$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{1+x³}) \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 09:55

klarsoweit

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RE: Substitution
Eben nicht. Das war ja schon gesagt worden. Ich finde es auch nicht besonders toll, daß du einfach was hinknallst, ohne wenigstens mal mit der Ableitung die Richtigkeit nachgeprüft hast. unglücklich

unglücklich

Versuche mal die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z}} = z^{-1/2} \end{eqnarray*}$ .

15.04.2013, 10:09

salzboy

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Ich kenne die Lösung der Aufgabe,dann brauch ich ja nicht noch nach prüfen.Ich weiß auch nicht was ich zu der aufgabe noch erläutern soll. Trotzdem versuche ich es mal :

$\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ ableite erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Also müsste das ja bedeuten das wenn ich

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{1+x³} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{1+x³}) \end{eqnarray*}$

Mehr kann ich nicht mit einbringen und das ist sogar falsch!!!

15.04.2013, 10:37

klarsoweit

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RE: Substitution

Zitat:

Original von salzboy
Also müsste das ja bedeuten das wenn ich

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{1+x³} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{1+x³}) \end{eqnarray*}$

Mehr kann ich nicht mit einbringen und das ist sogar falsch!!!

Daß das falsch ist, kannst du leicht - und da wiederhole ich mich - durch Ableiten nachrechnen. Aber anscheinend willst du dir da die Mühe nicht machen.

Wie es geht, habe ich auch schon gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Versuche mal die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z}} = z^{-1/2} \end{eqnarray*}$ .

Aber das scheint dich nicht zu interessieren. Da reitest du lieber auf deiner falschen Rechnung rum. unglücklich

unglücklich

Noch ein Tipp dazu: was ist eine Stammfunktion von f(x) = x^n ?

15.04.2013, 11:29

salzboy

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Ja wenn ich umforme kommt das richtige Ergebnis raus. Aber ich Verstehe einfach nicht warum es mit $\begin{eqnarray*} ln() \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert. Und woran kann ich erkennen wann ich Umformen soll und dann integrieren oder wann ich mit $\begin{eqnarray*} ln() \end{eqnarray*}$ integrieren soll.

Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} F(x)=2/3 * (1+x³)^{0,5}+c \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von salzboy
Aber ich Verstehe einfach nicht warum es mit $\begin{eqnarray*} ln() \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert.

Die Integrationsregel für Potenzfunktionen lautet

$\begin{eqnarray*} \int z^{\alpha} ~ \dd z = \begin{cases} \frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1} & \;\mbox{falls}\, \alpha\neq -1 \\ \ln(z) & \;\mbox{falls}\, \alpha= -1 \end{cases} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Du nun willst die zweite Regel auch im Falle anderer negativer Potenzen anwenden, also in der Art

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z^{\beta}} ~ \dd z \stackrel{???}{=} \ln(z^{\beta}) \end{eqnarray*}$ ,

was sich für $\begin{eqnarray*} \beta\neq 1 \end{eqnarray*}$ in der Probe (d.h. Differenzieren) als völliger Blödsinn erweist:

$\begin{eqnarray*} \left[ \ln(z^{\beta}) \right]' = \left[ \beta\ln(z) \right]' = \frac{\beta}{z} \neq \frac{1}{z^{\beta}} \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} \beta\neq 1 \end{eqnarray*}$

Da muss man keine Fragen a la "warum gilt das nicht" stellen - es gilt nicht, weil es falsch ist, und man sowieso nach Regel (*) das richtige Ergebnis bekommt: Eines, welches der Probe standhält.

15.04.2013, 11:49

salzboy

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ok danke

Freude

ich werde dann immer mit der Probe arbeiten und wenn die falsch ist dann Forme ich um und versuche einen Alternativen weg zu finden.

Ich habe noch eine ander Aufgabe un zwar möcht ich den therm

\frac{x²-4}{x-5} integrieren.

aber ich bin mir nicht sicher ob ich das mit meinem wissensstand lösen kann ?
ich kenne
partille integration die trifft hier nicht zu

und ich kenne substitution die funktioniert hier aber auch nicht.

diesen therm kann man doch auch nicht umformen oder ? jedenfalls wüsste ich nicht wie wie .

15.04.2013, 11:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von salzboy
und ich kenne substitution die funktioniert hier aber auch nicht.

Welche Substitution wolltest du denn nehmen? Ich würde es mal mit z = x-5 versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2013, 13:53

salzboy

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$\begin{eqnarray*} z=x-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{dz}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x²-4}{z}*\frac{dz}{1} \end{eqnarray*}$

aber jetzt kann ich ja garnichts kürzen ? traurig

traurig

15.04.2013, 13:55

klarsoweit

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Also du mußt schon jedes vorkommende x substituieren. smile

smile

15.04.2013, 14:07

salzboy

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Wie jedes x substutuieren also

$\begin{eqnarray*} z=x \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2013, 14:08

klarsoweit

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Also die Substitution lautet doch so:

Zitat:

Original von salzboy
$\begin{eqnarray*} z=x-5 \end{eqnarray*}$

Womit muß man also das x ersetzen?

15.04.2013, 14:32

salzboy

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ich setzte doch

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = z' \end{eqnarray*}$

dann forme ich nach dx um

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z'}=dx \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 14:59

klarsoweit

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Das ist richtig bezüglich des Themas "womit ist das dx zu ersetzen". Aber du mußt natürlich auch jedes andere vorkommende x mittels der Substitution ersetzen.

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