Offene Teilmenge eines normierten Raums

14.04.2013, 23:13

Hawkeye

Offene Teilmenge eines normierten Raums

Hallo Leute, mein erster Post hier!

Ich soll zeigen, dass eine Teilmenge von V (normierter Vektorraum) genau dann offen bezüglich ||.||' ist, wenn sie offen bezüglich ||.|| ist. Dabei gilt ||.||'=a||.|| mit a>0.

Ich hab keine Ahnung, was ich machen soll, ich weiß nicht mal, was eine Teilmenge eines normierten Raumes ist, bzw. wie dessen Elemente aussehen. Sind das nun reelle Zahlen, die entstehen, wenn man die Normoperation auf ein Element des Vektorraums anwendet, oder wie?

Und was bedeutet "offen bezüglich ||.||"?

Schönen Abend noch!

Gruß

15.04.2013, 08:34

Che Netzer

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RE: Offene Teilmenge eines normierten Raums
Das sind ehrlich gesagt schlechte Voraussetzungen.
Fangen wir mal mit folgenden Fragen an:
- Weißt du, was ein normierter Vektorraum ist?
- Weißt du allgemein, was eine Teilmenge einer Menge ist?
Wenn ja, dann sollte es kein Problem sein, zu verstehen, was eine Teilmenge eines normierten Raumes sein soll (Die Grundmenge aus der zweiten Frage ist hier $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , die Norm interessiert noch nicht). Ansonsten frag nochmal nach.

- (nur zur Sicherheit) Weißt du, wie eine Norm definiert ist?
- Weißt du, wie man in einem normierten Raum eine offene Menge definieren kann?

Die Behauptung kann man dann so formulieren:
Eine Menge $\begin{eqnarray*} O\subset V \end{eqnarray*}$ ist genau dann offen in $\begin{eqnarray*} (V,\lVert\cdot\rVert) \end{eqnarray*}$ , wenn sie offen in $\begin{eqnarray*} (V,\lVert\cdot\rVert') \end{eqnarray*}$ ist.

15.04.2013, 15:40

Hawkeye

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Ja, das ist mir bewusst. Analysis II hat gerade angefangen, jedoch hat der Prof nicht einmal definiert, was man sich unter einem Vektorraum vorstellen muss, habe also nur die Definition von Wikipedia.

Ein normierter Vektorraum ist ein VR, auf dem eine Abbildung definiert ist, die Norm, die jedem Element aus dem VR eine reelle nichtnegative Zahl zuordnet.

Was eine Teilmenge ist, weiß ich. Die Teilmenge eines Vektorraum ist dann einfach eine bestimmte Gruppe von Elementen aus diesem Raum.

Die Definition der Norm kenne ich (oben schon angeschnitten), aber von der "offenen Menge im normierten Raum" habe ich keine Ahnung =/

Gruß

15.04.2013, 18:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hawkeye
jedoch hat der Prof nicht einmal definiert, was man sich unter einem Vektorraum vorstellen muss, habe also nur die Definition von Wikipedia.

Ach du meine Güte... Dann setzt er wohl voraus, dass das aus Lineare Algebra 1 bekannt ist...

Wesentlich für die Aufgabe ist, dass man Elemente (Vektoren) eines Vektorraums subtrahieren, addieren und mt Skalaren multiplizieren kann (wobei die Subtraktion aus Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und Addition entsteht).

Zitat:

Die Definition der Norm kenne ich (oben schon angeschnitten), aber von der "offenen Menge im normierten Raum" habe ich keine Ahnung =/

Kennst du denn offene Mengen in metrischen Räumen?

Bzw. hast du überhaupt schon irgendetwas von offenen Mengen gehört? Oder von inneren Punkten?

Und ist dein Ana2-Professor eigentlich derselbe, den du in Ana1 hattest oder hatte der in seiner Analysis womöglich mehr Themen gemacht?

15.04.2013, 18:50

Hawkeye

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Zitat:

Original von Che Netzer

Ach du meine Güte... Dann setzt er wohl voraus, dass das aus Lineare Algebra 1 bekannt ist...

Das kann gut sein; Problem ist, ich bin Physikstudent und wir hören AnaI+II in den ersten beiden Semestern, LA aber erst im dritten.

Zitat:

Original von Che Netzer
Wesentlich für die Aufgabe ist, dass man Elemente (Vektoren) eines Vektorraums subtrahieren, addieren und mt Skalaren multiplizieren kann (wobei die Subtraktion aus Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und Addition entsteht).

Das ist die Vektorraum-Definition, gell?

Zitat:

Original von Che Netzer
Kennst du denn offene Mengen in metrischen Räumen?

Bzw. hast du überhaupt schon irgendetwas von offenen Mengen gehört? Oder von inneren Punkten?

Ich kenne offene Mengen im eindimesionalen Raum: (x,y) ist offen, [x,y] geschlossen^^
Am Ende der zweiten Vorlesung, wir hatten mit Metrik angefangen, hatte er allerdings diese Kreisscheiben an der Tafel (=Mengen), mit inneren Punkten. Vermutlich ist es das, was du meinst.
Das muss ich mir dann nochmal angucken, dachte nicht, dass das Ende der zweiten Vorlesung für die Lösung der ersten Aufgabe des Zettels relevant ist.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und ist dein Ana2-Professor eigentlich derselbe, den du in Ana1 hattest oder hatte der in seiner Analysis womöglich mehr Themen gemacht?

Ja, es ist der selbe. Aber er ist manchmal ein wenig zerstreut. Er denkt nicht dran, dass viele zB. gar keine Mathestudenten sind.

Gruß

15.04.2013, 19:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hawkeye
Das kann gut sein; Problem ist, ich bin Physikstudent und wir hören AnaI+II in den ersten beiden Semestern, LA aber erst im dritten.

Naja, das ist schlecht...

Zitat:

Das ist die Vektorraum-Definition, gell?

Die Definition enthält noch mehr Eigenschaften, die genannten sind aber die (hier!) wichtigsten davon, ja.

Zitat:

Ich kenne offene Mengen im eindimesionalen Raum: (x,y) ist offen, [x,y] geschlossen^^

Das sind übrigens nicht alle offenen/abgeschlossenen Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Teufel

Zitat:

Am Ende der zweiten Vorlesung, wir hatten mit Metrik angefangen, hatte er allerdings diese Kreisscheiben an der Tafel (=Mengen), mit inneren Punkten. Vermutlich ist es das, was du meinst.

Ja, das hört sich schon sehr gut an.

Worauf du besonders achten solltest:
Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit der Norm $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ , dann wird durch
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\lVert x-y\rVert\,, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x,y\in V \end{eqnarray*}$ , eine Metrik $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ definiert.
Aber lies dir erstmal deine Unterlagen durch.

15.04.2013, 21:57

Hawkeye

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Das werde ich machen, und ich hoffe, dass ich dann eher eine Ahnung habe. Ansonsten frage ich hier weiter.
Mir scheinen da ja ein paar Grundbegriffe zu fehlen.

Danke Dir schonmal für deinen Rat smile

Gruß

16.04.2013, 01:01

Hawkeye

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Ok, ich weiß jetzt ungefähr, was offene Mengen sind, und habe gleich eine Idee:

Seien $\begin{eqnarray*} A\subseteq V, a \in A, r_{1}>0 \end{eqnarray*}$ .
Definiere Metrik d(x,y):=||x+y||
A ist offen bzgl ||.|| bedeutet:
Es gibt zu jedem a eine Kugel $\begin{eqnarray*} B(a,r_{1}) \end{eqnarray*}$ ={ $\begin{eqnarray*} x\in A| d(a,x)<r_{1} \end{eqnarray*}$ }.
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda r_{1}=:r_{2} \end{eqnarray*}$
Also ist
d(a,x)< $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$
<=> ||a+x||< $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ||a+x||< $\begin{eqnarray*} \lambda r_{1} \end{eqnarray*}$
<=> ||a+x||'< $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$

Dann ist A auch offen bzgl ||.||'

Dann die andere Richtung genau so.

Sag mir bitte, dass das richtig ist Hammer

Gute N8.

16.04.2013, 08:13

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hawkeye
Definiere Metrik d(x,y):=||x+y||

Hier müsste $\begin{eqnarray*} \lVert x-y\rVert \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Es gibt zu jedem a eine Kugel $\begin{eqnarray*} B(a,r_{1}) \end{eqnarray*}$ ={ $\begin{eqnarray*} x\in A| d(a,x)<r_{1} \end{eqnarray*}$ }.

Wichtig dabei ist, dass diese Kugel komplett in der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten sein muss und natürlich $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ .

Bis auf das Minus und die Verwirrung mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und dem a aus dem Ursprungsbeitrag stimmt der Rest.
Jetzt kannst du folgern, dass $\begin{eqnarray*} B(a,r_1) \end{eqnarray*}$ bezüglich der $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert \end{eqnarray*}$ -Norm die gleiche Menge wie $\begin{eqnarray*} B(a,r_2) \end{eqnarray*}$ bezüglich der $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert' \end{eqnarray*}$ -Norm ist, d.h. die eine Menge ist genau dann in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn es auch die andere ist.

16.04.2013, 11:28

Hawkeye

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Zitat:

Original von Che Netzer

Hier müsste $\begin{eqnarray*} \lVert x-y\rVert \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} \lVert x+y\rVert \end{eqnarray*}$

.
Warum tut es nicht ||x+y||? Weil ich dann die Eigenschaft von Metriken verletze, dass d(x,y)=0 <=> x=y ist?
Weil rein theoretisch kann ich doch jede Norm wählen, weil keine konkrete angegeben ist.

Zitat:

Ok, diese Makel besser ich noch aus smile

16.04.2013, 19:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hawkeye
Warum tut es nicht ||x+y||? Weil ich dann die Eigenschaft von Metriken verletze, dass d(x,y)=0 <=> x=y ist?

Genau deswegen.

Zitat:

Weil rein theoretisch kann ich doch jede Norm wählen, weil keine konkrete angegeben ist.

Indirekt schon, da von einem normierten Raum die Rede ist, zu dem eine Norm gehört.
Oder was meinst du mit "Norm wählen"?

16.04.2013, 21:49

Hawkeye

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Zitat:

Original von Che Netzer

Genau deswegen.

Alles klar!

Zitat:

Indirekt schon, da von einem normierten Raum die Rede ist, zu dem eine Norm gehört.
Oder was meinst du mit "Norm wählen"?

Ich dachte mir, wie ich die Norm definier, ist eigentlich egal. Habe dabei aber außer Acht gelassen, dass die Definition nicht verletzt wird, wie es mit dem ||x+y|| der Fall gewesen wäre.

Damit wäre ich hier fertig.
Vielen, vielen Dank, dass du mir so schnell und kompetent geholfen hast!

Gruß

Hawkeye

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