sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n ;vollständige Induktion

15.04.2013, 10:05

Painter21

sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n ;vollständige Induktion

Meine Frage:
Sehr geehrte Community,
Ich habe ein kleines Problem mit vollständiger Induktion bei Summen.
Diese Aufgabe zum Beispiel, ist mit meinen derzeitigen Wissensstand nicht lösbar. Sollte die Aufgabe nicht lesbar sein bitte die folgende Zeile bei wolfram alpha eingeben:
sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n

Vielen Dank für jede Hilfe
Painter21

Meine Ideen:
Induktionsverankerung: sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to 0 = 3^0
binomial(0,0)*2^0=1=3^0=1 ->w.a.

Induktionsannahme: Für ein beliebiges n (element) N, gelte:
sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n

Induktionsschritt: sum binomial(n+1,k)*2^k, k=0 to n+1 = 3^(n+1)
(sum binomial(n+1,k)*2^k, k=0 to n+1)-
(sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n) = 3^n+1- 3^n

Da sich jedes Element der Summe mit n einzeln
verändert ist es mir nicht mögliche eine Einfache
Lösung zu finden.

15.04.2013, 12:01

klarsoweit

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RE: sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n ;vollständige Induktion

Zitat:

Original von Painter21
sum binomial(n,k)*2^k, k=0 to n = 3^n

Für sowas haben wir Latex: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom n k 2^k = 3^n \end{eqnarray*}$

Falls du das unbedingt mit Induktion machen mußt:

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} 2^k = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} 2^k + 2^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Formel $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom n k \end{eqnarray*}$ anwenden und die Summe entsprechend auseinanderziehen.

Ansonsten kann ich auch die allgemeine binomische Formel empfehlen: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k a^{n-k} b^k \end{eqnarray*}$ smile

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