Grenzwert einer Wurzelfunktion

15.04.2013, 14:22

MIW

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Grenzwert einer Wurzelfunktion

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe hier eine Funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2} + 8 n + 17} -n-1 \end{eqnarray*}$ deren Grenzwert ich bestimmen Soll.

Meine Idee die n vernachlässigen, also nur \sqrt{ 17 } -1 berechnen. Hiermit komme ich auf 3,1. Lösung ist 3.
Kann ich das so machen oder war das jetzt nur zufällig richtig?

Meine Ideen:
.. .

15.04.2013, 14:36

Bürgi

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion
Hallo,

hier ist es am zweckmäßigsten, den Wurzelterm etwas zu vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2} + 8 n + 17} -n-1 = \sqrt{(n+4)^2+1} -n-1 \end{eqnarray*}$

Bestimme jetzt den Grenzwert der Wurzel, wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht.

Fertig!

15.04.2013, 14:41

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion

Zitat:

Original von MIW
Meine Idee die n vernachlässigen, also nur \sqrt{ 17 } -1 berechnen. Hiermit komme ich auf 3,1. Lösung ist 3.
Kann ich das so machen oder war das jetzt nur zufällig richtig?

Was soll daran richtig sein? verwirrt

verwirrt

Es ist weder $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 17 } -1 = 3,1 \end{eqnarray*}$ noch 3,1 = 3 .

@Bürgi: ich sehe nicht, wie das mit deinem Tipp funktionieren soll.

@MIW: helfen kann die Umformung $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2 + 8 n + 17} - n-1 = \sqrt{n^2 + 8 n + 17} - (n+1) \end{eqnarray*}$ und dann die Erweiterung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2 + 8 n + 17} + (n+1) \end{eqnarray*}$

15.04.2013, 14:46

MIW

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Danke für deine Antwort!
Nur leider bin ich jetzt noch mehr verwirrt, denn so komme ich doch nicht auf 3? Oder muss ich alles, was nicht unter der Wurzel steht vernachlässigen ?

15.04.2013, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von MIW
denn so komme ich doch nicht auf 3?

Das werden wir dann sehen. Mach erstmal die von mir genannte Umformung.

15.04.2013, 15:25

MIW

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1as hat sich noch auf den Beitrag über dir bezogen .

Was meinst du mit der Erweiterung? Soll ich da einfach hinten dran noch mal das gleiche hinschreiben?

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15.04.2013, 15:46

klarsoweit

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Erweitern heißt, daß du sowas schreibst: $\begin{eqnarray*} a = a \cdot \frac b b \end{eqnarray*}$ .

Ist vielleicht länger her (6. Schuljahr?) . Jetzt mußt du nur für a und b das passende einsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2013, 07:13

Bürgi

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion
@klarsoweit

Guten Morgen, ich bitte um Entschuldigung, dass ich jetzt erst reagiere.

Hier meine Überlegung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left( \sqrt{n^2 + 8 n + 17} - n-1\right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{(n + 4)^2 + 1} - n-1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( (n+4) \cdot \underbrace{\sqrt{1+\frac1{(n+4)^2}}}_{\text{geht sehr schnell gegen 1}} - n-1 \right) = n+4-n-1 = 3 \end{eqnarray*}$

16.04.2013, 08:51

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion
So geht das aber nicht. Wenn du den Grenzwert bildest, darf anschließend in dem Grenzwert kein n mehr vorkommen. Sonst könnte man ja auch sowas machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n = 1^n = 1 \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Big Laugh

16.04.2013, 09:07

HAL 9000

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@Bürgi

Wenn schon auf diesem Weg, dann allenfalls per Sandwich: Es ist

$\begin{eqnarray*} n+4 < \sqrt{(n+4)^2+1} = \sqrt{n^2+8n+17} = \sqrt{\left(n+4+\frac{1}{2(n+4)}\right)^2 - \frac{1}{4(n+4)^2}} < n+4+\frac{1}{2(n+4)} \end{eqnarray*}$ ,

womit man dann auch auf den Grenzwert kommt.

Der Weg von klarsoweit ist m.E. aber für Unerfahrene besser zugänglich als insbesondere die Abschätzung rechts.

16.04.2013, 11:26

Moerle

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Mmmh also Grenzwert mit Wurzel habe ich den Trick gelernt, dass man folgende Formel verwendet:

$\begin{eqnarray*} a-b=(a-b*a+b)/a+b)=(a^2-b^2)/a+b \end{eqnarray*}$

Dann bekommt man meistens die Wurzel oben raus und kann den Bruch kürzen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2}=n \end{eqnarray*}$ . Komme dann auf einen Grenzwert von 5 könnte mich aber auch irren.

16.04.2013, 11:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Moerle
$\begin{eqnarray*} a-b=(a-b*a+b)/a+b)=(a^2-b^2)/a+b \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß obiges nicht stimmt, ist auch der Grenzwert nicht 5.

Mittlerweile haben wir den 4. Koch, der in dieser Suppe rumrührt. unglücklich

unglücklich

16.04.2013, 12:07

Moerle

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Warum stimmt obiges nicht?Man erweitert den Bruch a-b/1 mit a+b. a=alles unter der wurzel,b=alles danach,einsetzen und Ich habs nochmal nachgerechnet damit und komme auch aufs richtige Ergebnis.. Der Grenzwert ist 3! Ich versuchs die ganze Zeit zu editieren, aber muss ja eine viertelstunde warten...

16.04.2013, 12:16

Bürgi

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion
Hallo

@klarsoweit

Ich befürchte, dass Du Recht hast, aber

die Wurzel wird nicht potenziert, insofern stimmt Dein Beispiel nicht;
selbst wenn sie potenziert würde, gilt $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac1{n^2}\right)^n = 1 \end{eqnarray*}$ ;
lasse ich halt die Summe zwischen den Gleichheitszeichen weg, dann kommt auch kein n mehr vor.

... so, und ab jetzt koche ich nicht mehr mit.

16.04.2013, 12:48

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Wurzelfunktion

Zitat:

Original von Bürgi
Ich befürchte, dass Du Recht hast, aber

die Wurzel wird nicht potenziert, insofern stimmt Dein Beispiel nicht;

Es ging darum, daß du den Grenzwert über n bildest, aber am Ende noch n in dem Grenzwert vorkommt. Mit meinem Beispiel wollte ich zeigen, daß man damit zu falschen Schlüssen kommen kann, auch wenn sich anschließend - wie auch immer - das n irgendwie verflüchtigt.

Zitat:

Original von Bürgi

selbst wenn sie potenziert würde, gilt $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac1{n^2}\right)^n = 1 \end{eqnarray*}$ ;

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Mein Beispiel hat als solches auch nichts mit der Aufgabe, sondern nur mit deiner Vorgehensweise bei der Grenzwertbildung zu tun.

16.04.2013, 12:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Moerle
Warum stimmt obiges nicht?Man erweitert den Bruch a-b/1 mit a+b. a=alles unter der wurzel,b=alles danach,einsetzen und Ich habs nochmal nachgerechnet damit und komme auch aufs richtige Ergebnis

Dann setze bitte ordentlich Klammern, daß es auch allgemein verständlich gelesen werden kann. geschockt

geschockt

16.04.2013, 14:30

Moerle

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Mmmh dann mache ich das einmal an dem gegebenen Beispiel noch und hoffe, dass ich keine Klammern vergesse:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+8n+17}-n-1=\frac{n^2+8n+17-n^2-2n-1}{\sqrt{n^2+8n+17}+n+1} =\frac{6n+16}{\sqrt{n^2+8n+17}+n+1}=\frac{6+(16/n)}{(\sqrt{1+(8n/n^2)+(17/n^2)}+1+(1/n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} \frac{6+(16/n)}{\sqrt{1+(8n/n^2)+(17/n^2)}+1+(1/n)}=\frac{6}{\sqrt{1}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{eqnarray*}$

So habe ich es zumindest für mein HöMa 2 Tut lernen müssen.

16.04.2013, 14:39

klarsoweit

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Das ist zwar richtig, nur hast du jetzt MIW mit einer Komplettlösung bedient, der das eigentlich selber rechnen sollte. geschockt

geschockt

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