Mithilfe des nat. Log. nach x auflösen

15.04.2013, 14:37

Volare

Mithilfe des nat. Log. nach x auflösen

Ich soll morgen einem Freund bei Mathe helfen, da er im Unterricht einfach überhaupt nichts versteht und er übermorgen schon seine Klausur schreiben wird. Die Klausur wird über das Thema E-Funktionen gehen und ich bin folglich derzeit dabei, mir die Themen noch mal anzuschauen...

Nun habe ich jedoch ein Problem... wenn ich eine Funktion habe, deren Formel lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=90e^(ln(0,87)*x) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich dann bestimmen, wann diese Funktion den Wert 50 überschreitet? Ich wollte das mit dem natürlichen Logarithmus machen und damit das x aus dem Exponenten entfernen, und bin mir auch ziemlich sicher, dass dies der richtige Weg ist... Nur bin ich mir nicht mehr sicher, wie man weiter verfährt nachdem man den natürlichen Logarithmus angewandt hat... Wie wird die E-Funktion danach aufgelöst?

$\begin{eqnarray*} 90e^(ln(0,87)*x > 50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(90)*ln(0,87)*x < 50 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig aufgelöst? Das Vorzeichen muss man doch umkehren, da die linke Seite negativ wird durch das Hinzufügen des natürlichen Logarithmus, oder? Und falls ich das richtig aufgelöst habe, könnte mir dann jemand erklären warum ich dennoch jedes Mal auf ein Ergebnis komme, das einfach nicht stimmen kann? Ich komme immer auf $\begin{eqnarray*} x>6,24 \end{eqnarray*}$ , was sich jedoch bei der Probe immer als falsch herausstellt... :/

Vielen Dank für eure Antworten schon mal im Voraus!
LG Jan

15.04.2013, 14:50

Kasen75

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Hallo,

meinst du diese Ungleichung $\begin{eqnarray*} 90\cdot e^{ln(0,87)*x} > 50 \end{eqnarray*}$

Dann gilt vor allem die Potenzregel.

$\begin{eqnarray*} x^{a \cdot b}=\left( x^a \right)^b \end{eqnarray*}$

Diese würde ich erstmal hierauf $\begin{eqnarray*} e^{ln(0,87)*x} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Des Weiteren gilt: $\begin{eqnarray*} e^{ln(a)}=a \end{eqnarray*}$

Zitat:

ln(90)*ln(0,87)*x < 50

Diese Umformung ist jedenfalls nicht richtig.

Grüße.

15.04.2013, 14:57

klarsoweit

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RE: Mithilfe des nat. Log. nach x auflösen
Abgesehen davon, daß ich deine Umformung nicht nachvollziehen kann, ist das:

Zitat:

Original von Volare
Das Vorzeichen muss man doch umkehren, da die linke Seite negativ wird durch das Hinzufügen des natürlichen Logarithmus, oder?

grober Unfug. Was für eine tolle Regel hast du denn da erfunden? verwirrt

Ich würde mal in $\begin{eqnarray*} 90 \cdot e^{ln(0,87)*x} > 50 \end{eqnarray*}$ durch 90 dividieren und dann auf beiden Seiten den ln nehmen. Aber bitte sehr das Ungleichheitszeichen beibehalten da der ln monoton steigend ist. smile

EDIT: zu spät. traurig

15.04.2013, 15:25

Volare

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Wie gesagt, die Klausur ist nicht für mich, es ist daher sehr lange her, dass ich das Thema im Unterricht behandelt habe... was ich mit der Umkehrung des Vorzeichens meine ist folgendes: Wenn man eine Ungleichung hat und durch irgendeinen Rechenschritt sich die Vorzeichen auf einer Seite umkehren, dann wird aus dem > doch ein <, ebenso umgekehrt. Oder irre ich mich da?

Das bedeutet dann ich habe also

$\begin{eqnarray*} 90e^{ln(0,87)*x}>50 \end{eqnarray*}$ Man dividiere durch 90

$\begin{eqnarray*} e^{ln(0,87)}*e^{x}>5/9 \end{eqnarray*}$

Nun wende ich den natürlichen Logarithmus an:

$\begin{eqnarray*} ln(e^{ln(0,87)}*e^{x})>ln(5/9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,87x>ln(5/9) \end{eqnarray*}$

Und meine Umformung scheint immer noch falsch zu sein... Da der natürliche Logarithmus von 5/9 ein negativer Wert ist werde ich dann auch in meiner Lösung auf einen negativen Wert kommen, das ist aber im Sachzusammenhang unsinnig... Wo liegt nun mein Fehler?

15.04.2013, 15:36

Volare

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Oh Gott, mir fällt gerade auf dass ich dies im falschen Forum geschrieben habe. Die Frage sollte eigentlich in den Analysis-Teil des "Schulmathematik"-Forums...
Wäre ein Moderator vielleicht so nett und würde meine Frage dort rüber schieben?

15.04.2013, 15:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Volare
$\begin{eqnarray*} 90e^{ln(0,87)*x}>50 \end{eqnarray*}$ Man dividiere durch 90

$\begin{eqnarray*} e^{ln(0,87)}*e^{x}>5/9 \end{eqnarray*}$

Wie kommt es hier zu dem e^x ?

15.04.2013, 15:59

Volare

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Oh, das war ein Tippfehler... Dämlich von mir... Ich werde das natürlich sofort korrigieren.

Ich habe also nachdem ich durch 90 dividiert habe, folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} (e^{ln(0,87)})^{x}>5/9 \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich komplett verwirrt... Tut mir Leid, ich bin normalerweise ein absoluter Einserkandidat in Mathe, aber gerade im Moment blicke ich hier einfach nicht mehr durch, vor Allem nachdem ich mich durch diesen Haufen an Codes gewühlt habe um die Formatierung der Gleichung einigermaßen anständig hinzubekommen...

Wie würde ich hier daher weitervorgehen? Ich wende also den ln an... Doch jetzt bin ich arg verwirrt wie das ganze danach aufgelöst wird...

15.04.2013, 16:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Volare
$\begin{eqnarray*} (e^{ln(0,87)})^{x}>5/9 \end{eqnarray*}$

Laß es doch so: $\begin{eqnarray*} e^{ln(0,87) \cdot x}>5/9 \end{eqnarray*}$

Und jetzt den ln nehmen.

15.04.2013, 16:15

Volare

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Ja, das Problem ist, dass ich nicht mehr genau weiß wie der ln in diesem Zusammenhang aufgelöst werden kann... Und auch in meinem Schulbuch und auf Google habe ich nichts dazu gefunden...

Ich habe dann jedenfalls ja die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} ln(e^{ln(0,87)*x})>ln(5/9) \end{eqnarray*}$

Löst man dies so auf?

$\begin{eqnarray*} 0,87^{x}>ln(5/9) \end{eqnarray*}$
Das scheint mir sehr seltsam zu sein. Doch egal ob ich auf $\begin{eqnarray*} 0,87x>ln(5/9) \end{eqnarray*}$ komme oder auf $\begin{eqnarray*} 0,87^{x}>ln(5/9) \end{eqnarray*}$ , das Ergebnis will einfach keinen Sinn ergeben...

Oder wäre die richtige Lösung $\begin{eqnarray*} ln(0,87)*x>ln(5/9) \end{eqnarray*}$ ? Das ist mir gerade aufgefallen... ln und e heben sich ja gegenseitig auf... Ist das endlich die richtige Lösung? Oder liege ich immer noch falsch?

15.04.2013, 16:31

Volare

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Also ich habe das jetzt noch einmal mit meinem neuen Ergebnis versucht. Durch $\begin{eqnarray*} ln(5/9) / ln(0,87) \end{eqnarray*}$ komme ich auf den Wert $\begin{eqnarray*} x > 4,22072339 \end{eqnarray*}$ ... Ich glaube ich habe damit endlich das richtige Ergebnis gefunden. Vielen Dank!

15.04.2013, 16:40

Kasen75

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Dein Ergebnis stimmt nicht ganz. Du musst bedenken, dass du durch $\begin{eqnarray*} ln(0,87) \end{eqnarray*}$ teilst. $\begin{eqnarray*} ln(0,87) \end{eqnarray*}$ ist eine negative Zahl. Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen?

15.04.2013, 19:25

Volare

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Dann muss ich aber auch an einer vorherigen Stelle schon vergessen haben, das Vorzeichen zu wechseln, x muss nämlich auf jeden Fall größer als ein bestimmter Wert sein... Weißt du, wo ich vielleicht vergessen habe, das Vorzeichen umzukehren?

15.04.2013, 20:06

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} 90\cdot e^{ln(0,87)*x} \end{eqnarray*}$ ist ja auch größer als 50 für $\begin{eqnarray*} x < 4,22072339 \end{eqnarray*}$

Wenn der Wert für x sinkt, dann wird der Wert des Terms $\begin{eqnarray*} 90\cdot e^{ln(0,87)*x} \end{eqnarray*}$ größer.

Somit hast du davor keinen Fehler gemacht. x muss somit kleiner als 4,22072339 sein, damit die Ungleichung erfüllt ist.

16.04.2013, 08:57

klarsoweit

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RE: Mithilfe des nat. Log. nach x auflösen

Zitat:

Original von Volare
wenn ich eine Funktion habe, deren Formel lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=90e^(ln(0,87)*x) \end{eqnarray*}$

Und so sieht diese Funktion aus:

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