Geradengleichung gesucht

15.04.2013, 16:17

Bob2

Geradengleichung gesucht

Meine Frage:
Hi,
ich benötige Unterstützung bei folgender Aufgabe:

Eine Gerade k soll folgende Bedingungen erfüllen:
1. k verläuft durch den Eckpunkt B des Dreiecks ABC,
2. k schneidet die Dreiecksseite [AC] in einem Punkt D,
3. k verläuft durch einen Punkt Q der Geraden:
$\begin{eqnarray*} q:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}; s \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Gleichung der Geraden k.

Aus der vorhergehenden Teilaufgabe ist bekannt, dass q in der Ebene E liegt.
E: 2x + y + 2 z = 14

Die Eckpunkte des Dreiecks sind: A(3/7)1), B(1/8/4), C (2/34)

Meine Ideen:
Um die Gleichung aufzustellen fehlt mir der Richtungsvektor der Geraden k.

Gruß

15.04.2013, 16:45

Bob2

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Hier noch mal die Punkte des Dreiecks:
A (3/7/1)
B (1/8/4)
C (2/3/4)

Habe mich oben verschreiben! sry

15.04.2013, 17:07

riwe

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beachte, dass Q auch in der ebene ABC liegt, das führt zum erfolg Augenzwinkern

15.04.2013, 17:08

Leopold

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Nimm einen allgemeinen Geradenpunkt von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Q = ( 3s | 4s | 7 - 5s ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Stelle dann Parameterdarstellungen der Geraden $\begin{eqnarray*} AQ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ auf und bringe die Geraden zum Schnitt. Ich nenne die Parameter einmal $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} AQ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ . Du bekommst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den zwei Unbekannten $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \end{eqnarray*}$ . Darüber hinaus tritt aber auch $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ als vorgelagerter Parameter in den drei Gleichungen auf. Jetzt mußt du $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ so bestimmen, daß das Gleichungssystem genau ein Lösungspaar $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \end{eqnarray*}$ besitzt.

Falls es überhaupt ein geeignetes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gibt, liefert dir dieses Verfahren nur einen Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf der Geraden $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ . Ob $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auch auf der Strecke $\begin{eqnarray*} [AC] \end{eqnarray*}$ liegt, muß hinterher noch überprüft werden.

Das Verfahren ist sehr formal und wenig anschaulich. Ein einfacher geometrischer Zugang fällt mir im Moment nicht ein.

EDIT

Zitat:

Original von riwe
beachte, dass Q auch in der ebene ABC liegt, das führt zum erfolg Augenzwinkern

Ah ja!

15.04.2013, 18:44

bob2

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Jetzt ist alles klar!
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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