Funktionsgleichung ableiten mit e-Funktion, klappt nicht.

15.04.2013, 21:10

Deepred

Funktionsgleichung ableiten mit e-Funktion, klappt nicht.

Meine Frage:
Hallo Leute, bin dabei für die Mathematikprüfung zu lernen und komme beim lernen an einer Aufgabe nicht weiter. Wie man Ableitungen von Gleichungen erstellt, die die e-Funktion beinhalten weiß ich, aber ich komme nicht auf die Lösung (Ist zur Kontrolle angegeben).

Die Gleichung: $\begin{eqnarray*} fa(t)=\frac{a}{60}(1-e^{-\frac{1}{20}t})-\frac{1}{600}t \end{eqnarray*}$

Die gelöste Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'a(t)=\frac{1}{600}(\frac{a}{2}e^{-\frac{1}{20}t-1}) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man zur Ableitung hin?

Meine Ideen:
Habs mit der Produktregel, Quotientenregel und mit der Summenregel versucht.
Hier meine Rechenschritte:

Gleichung umstellen:

$\begin{eqnarray*} fa(t)=\frac{a}{60}(1-e^{-\frac{1}{20}t})-\frac{1}{600}t \end{eqnarray*}$
nach:
$\begin{eqnarray*} fa(t)=\frac{a-a*e^{-\frac{1}{20}t}}{60}-\frac{1}{600}t \end{eqnarray*}$

Danach wende ich die Quotientenregel an:
$\begin{eqnarray*} u= a-a*e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=a-a*-\frac{1}{20}e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=60 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt laut Quotientenregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{(a-a*-\frac{1}{20}e^{-\frac{1}{20}t})*60-(a-a*e^{-\frac{1}{20}t})*0}{60^2} \end{eqnarray*}$

Das wären dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{a*e^{-\frac{1}{20}t}*(20*e^{\frac{t}{20}+1})}{1200} \end{eqnarray*}$

Laut Summenregel hänge ich noch den letzen Teil an:
$\begin{eqnarray*} \frac{a*e^{-\frac{1}{20}t}*(20*e^{\frac{t}{20}+1})}{1200}-\frac{1}{600} \end{eqnarray*}$

Habs mit der Produktregel versucht, aber es kommt wieder was anderes raus.

Welche Regel muss ich nutzen und wo ist der Fehler?

15.04.2013, 21:28

Kasen75

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Hallo,

du brauchst hier keine die Quotientenregel. Ich schreibe mal deine Funktion anders auf
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{60} -\frac{a \cdot e^{-\frac{1}{20}t}}{60}-\frac{1}{600}t \end{eqnarray*}$

Es kommt nirgends im Nenner die Variable t vor.

Die Lösung müsste eigentlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f'_a(t)=\frac{1}{600}(\frac{a}{2}e^{-\frac{1}{20}t}\textcolor{red}{-1}) \end{eqnarray*}$

Das "Schwierigste" ist eigentlich den Zähler des zweiten Summanden abzuleiten.

Grüße.

15.04.2013, 21:47

Lisa1994

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Wenn ich deine Lösung eingebe stimmt sie aber nicht mit nDeriv ein und nachvollziehen kann ich deine Lösung auch nicht, meiner Meinung nach fehlt ein a

15.04.2013, 22:01

Deepred2562

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Hallo,

erstmal danke, dass du für mich Zeit nimmst.
Ups, stimmt. Die 1 sollte nicht als Exponent stehen. Habe mich vertippt. :s

Ok, habe es jetzt so, mit der Produktregel gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{60}-\frac{e^{-\frac{1}{20}t}*(2a-\frac{1}{20} )}{60}-\frac{1}{600} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{600}*(10a-{600e^{-\frac{1}{20}t}*(1200a-30)}-1) \end{eqnarray*}$

Sieht schon wieder falsch aus..Hmmm *grübel, grübel*

15.04.2013, 22:10

Kasen75

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Eine Produktregel brauchst du auch nicht.

Konzentrieren wir uns mal auf den zweiten Summanden. Und hier auf den Zähler.

$\begin{eqnarray*} a \cdot e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$

Das a ist nur ein Faktor. Den kann man eigentlich auch erstmal ignorieren. Du musst hier eigentlich nur die e-Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$

Was kommt hier als Ableitung raus?

16.04.2013, 14:27

deepred44545

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Hi, das ist einfach:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{20}e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht genau, warum man a ignorieren kann. Wenn es t wäre, müssteman es beachten oder liege ich da falsch?

16.04.2013, 15:00

Kasen75

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Zitat:

Wenn es t wäre, müssteman es beachten oder liege ich da falsch?

Nein, da liegst du richtig. a ist einfach ein Faktor, keine Variable. Man kann ihn bei der Ableitung, fürs Verständnis, erstmal beiseite lassen.

Jetzt muss man ihn natürlich wieder hinschreiben. Auch der Nenner ist im Prinzip ein Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{60} \end{eqnarray*}$ . Somit ergibt sich für den zweiten Summanden als Ableitung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{a}{60} \cdot \frac{1}{20}e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$

Da aber der Term abgezogen wird steht er dann in der Ableitung so $\begin{eqnarray*} +\frac{a}{60} \cdot \frac{1}{20}e^{-\frac{1}{20}t} \end{eqnarray*}$ da.

16.04.2013, 15:47

DeepRed92

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Vielen Dank Kasen75 für deine Hilfe. Habe es jetzt verstanden und die Lösung herausbekommen. Habe es mit meinem CAS überprüft und ist richtig.

Schönen Tag und beste Grüße!

16.04.2013, 21:56

Kasen75

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Danke. Ich hatte einen schönen Tag.

Freut mich, dass es geklappt hat. smile

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