Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzkreises

15.04.2013, 21:58	medphys	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzkreises Hallo, ich habe hier eine komplexe Reihe und soll den Konvergenzradius bestimmen und das Konvergenzverhalten auf dem Rand überprüfen. Die Reihe lautet: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}z^{n+1} , z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ Ich habe die Reihe erstmal soweit umgeformt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^{2n+1}}{n^2}z^n \end{eqnarray}$ Damit konnte ich dann den Konvergenzradius r= $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ bestimmen. --> Die Reihe konvergiert für alle z mit $\begin{eqnarray} \|z\|<\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ .Ich habe aber leider keine Ahnung wie ich das Konvergenzverhalten am Rand im Komplexen untersuchen kann.
15.04.2013, 22:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nenner in deiner Umformung scheint mir nicht zu stimmen. Ich habe $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2^{2n+1}}{n^2 - 1} \cdot z^n = 2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{w^n}{n^2 - 1} \ \ \text{mit} \ \ w = 4z \end{eqnarray}$ Gehe in der Reihe zu den Beträgen über. Was ist für $\begin{eqnarray} \|w\| = 1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|z\| = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ ?
16.04.2013, 07:43	medphys	Auf diesen Beitrag antworten »
ich schreib dann meine Rechenschritte nochmal im einzelnen, weil ich meinen Umformungfehler nicht finde. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{2n+3}}{n^2+2n}z^n=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^{2(n-1)+3}}{(n-1)^2+2(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{2^{2n+1}}{n^2-2n+1+2n-2}z^n \end{eqnarray}$ Jetzt sehe ich gerade meinen Fehler, aber habe mir jetzt soviel Mühe mit dem Schreiben gegeben, dass ich das soweit erstmal abschicke
16.04.2013, 08:34	pusteblume-88	Auf diesen Beitrag antworten »
moin, mich würde auch mal interessieren, wie man den komplexen Rand untersuchen kann. Ich kann ja schlecht jeden Punkt einsetzten, wie im reellen Im Netz und hier in der Suche finde ich zu Hauf Beispiele für das reelle Intervall, aber im komplexen ist es mir ein Rätsel.... Wäre für einen Tip sehr dankbar
16.04.2013, 15:11	medphys	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt gerade mal die Umformung nachvollzogen, aber ich weiß nicht, wie mir das helfen soll mit \|w\|=1 .Hast du vielleicht noch einen kleinen Tipp?
16.04.2013, 18:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolut konvergente Reihen sind insbesondere konvergent.
Anzeige

16.04.2013, 18:46	medphys	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Reihe sieht dann ja erstmal so aus oder: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\|w^n\|}{\|n^2-1\|} \end{eqnarray}$ komm ich aber immer noch nicht mit weiter -.- Wenn ich gezeigt habe das die Reihe mit Beträgen konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe ohne Beträge oder?
16.04.2013, 18:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
(Die Abkürzung $\begin{eqnarray} w = 4z \end{eqnarray}$ habe ich nur eingeführt, damit das Ganze etwas hübscher aussieht und auf den Fall $\begin{eqnarray} \|w\|=1 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \|z\| = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ zurückgeführt wird. Du brauchst das nicht und kannst auch mit der originalen Reihe arbeiten. Das gibt sich nicht viel.) Die Betragsstriche im Nenner können entfallen, denn es ist $\begin{eqnarray} n^2-1>0 \end{eqnarray}$ . Ferner gilt $\begin{eqnarray} \left\| w^n \right\| = \|w\|^n \end{eqnarray}$ . Verwende $\begin{eqnarray} \|w\|=1 \end{eqnarray}$ . Dann bekommst du eine simple von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ unabhängige konvergente Reihe. Die Konvergenz läßt sich leicht durch Angabe einer Majoranten nachweisen. Ja, wenn man bedenkt, daß man durch Partialbruchzerlegung eine Teleskopreihe erhält, kann man sogar den Grenzwert angeben. Und nochmals ja: Wenn die Reihe mit den Beträgen konvergiert, dann auch die ohne die Beträge. (Umgekehrt gilt es natürlich nicht.)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »