Beweis zu Riemannintegrierbaren Funktion

16.04.2013, 00:30

Coolguy21

Beweis zu Riemannintegrierbaren Funktion

Hey,

stehe vor folgender Aufgabe:

Sei [a,b] ein kompaktes Intervall und sein f: [a,b] -> R eine Riemann - integrierbare Funktion mit f(x) > 0. Für alle x aus dem Intervall.

Zu zeigen:

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx > 0 \end{eqnarray*}$

Leider habe ich kaum Ideen wie ich da herangehen soll. Ich würde es wohl mit einem Widerspruchsbeweis versuchen. Ich Nehme als an, dass das Integral =< 0 ist.

Nur weiß ich nicht, wie ich daraus folgern kann, dass f(x) nicht für alle x größer 0 sein kann.

Wäre für jede Hilfe dankbar!!

16.04.2013, 09:07

Ehos

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Anschaulich ist die Sache klar, denn das Integral ist geometrisch nichts anderes als der Inhalt der Fläche, welche zwischen der x-Achse und der Funktion f(x) eingeklemmt ist.

Der formal Beweis ergibt sich aus der Definition des Riemann-Integrals: Dabei zerlegt man die o.g. Fläche in dünne Rechecke mit der differenziellen Breite dx und der x-abhängigen Höhe f(x). Das Integral ist die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke (wenn man im Grenzwert deren Breite dx immer schmaler und folglich deren Anzahl immer größer werden lässt). Da der Flächeninhalt jedes einzelnen Rechteckes positiv ist, muss das auch für die Summe gelten.

16.04.2013, 11:42

Coolguy21

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Hey, danke für die Antwort.

Ich denke allerdings, dass ich das nicht so machen soll... Habe vergessen zu erwähnen, dass ich das Lebesquesches Integrabilitätskriterium benutzen soll:/

16.04.2013, 20:27

Coolguy21

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Hat keiner eine Idee unglücklich

17.04.2013, 11:46

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Da der Flächeninhalt jedes einzelnen Rechteckes positiv ist, muss das auch für die Summe gelten.

Deswegen muss das noch nicht für den Grenzwert der Summen gelten. Der könnte trotzdem 0 sein. Das ist also kein Beweis.

Nach dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium ist f fast überall auf [a, b] stetig. Nun nimm einen Punkt x innerhalb des Intervalls, in dem f stetig ist. Nach Voraussetzung ist f(x) > 0. Jetzt betrachte eine geeignete Umgebung von x unter Benutzung der Stetigkeit in x.

17.04.2013, 20:33

Coolguy21

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Danke für die Antwort Freude

Dann nutze ich nun einfach mal die Epsilon-Delta Definition der Stetigkeit. Diese lautet ja wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall E > 0 \exists d > 0 \forall x \in \cup_{d} (x_{0} ) : f(x) \in \cup_{E} (f(x_{0})) \end{eqnarray*}$

So.

Sei f stetig in x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [a,b]. Wir wählen E > 0 so.., dass es ein d>0 existiert, welches obiges erfüllt.

Wir erhalten ein Intervall

[x_{0}-d, x_{0}+d] , welches in [a,b] liegen soll.

Dann gilt, weil f(x)>0 für alle x aus I:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \geq \int_{x_{0}-d }^{x_{0}+d } \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Macht das soweit Sinn? Kann ich damit was anfangen? Danke smile

17.04.2013, 21:40

Huggy

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Entscheidend ist, ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu wählen, z. B. $\begin{eqnarray*} \epsilon=f(x_0)/2 \end{eqnarray*}$ . Damit kriegst du für das Teilintegral über die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung eine > 0-Abschätzung.

17.04.2013, 21:55

Coolguy21

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Zitat:

Original von Huggy
Entscheidend ist, ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu wählen, z. B. $\begin{eqnarray*} \epsilon=f(x_0)/2 \end{eqnarray*}$ . Damit kriegst du für das Teilintegral über die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung eine > 0-Abschätzung.

Gut, das Epsilon ist ja dann auch größer 0, denn f(x)> 0 für alle x...

aber wie gehts denn weiter, wenn ich mein Epsilon so gewählt habe?

Wenn E=f(x0)/2 . Gilt ja, dass es ein d>0 existiert, sodass de Funktionswerte aller x in der Delta Umgebung, sich in der Epsilon Umgebung befinden. Insbesondere sind die Funktionswerte ja alle postiv.

Folgt daraus , dann dass das Integral von f(x) über diese Grenzen ebenfalls größer 0 ist?

Danke im Voraus smile

17.04.2013, 22:42

Huggy

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Es gilt doch dann in der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} f(x_0)-\epsilon \leq f(x) \leq f(x_0)+\epsilon \end{eqnarray*}$ . Mit dem gewählten $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x_0)/2 \leq f(x) \leq 3f(x_0)/2 \end{eqnarray*}$ . Damit hat man

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)dx \geq 2\delta \frac {f(x_0)}{2}=\delta f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$

17.04.2013, 22:59

Coolguy21

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Zitat:

Original von Huggy

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)dx \geq 2\delta \frac {f(x_0)}{2}=\delta f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$

das f(x) wird ja durch f(x0)/2 nach unten abgeschätzt. Und 2*d kommt daher, dass die Differenz zwischen obere und untere Grenze eben 2*d ist?

Wieso darf ich das machen? 2*d*f(x0)/2 wäre doch dann immer die Fläche eines Rechteckt, oder? Woher weiß ich dann aber, dass ich dadurch wirklich nach unten abgeschätzt habe? :S

VIelen Dank für die Geduld!

18.04.2013, 08:47

Huggy

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Das ist nun wirklich eine merkwürdige Frage. Sie erweckt den Eindruck, dass du die Definition des Riemannintegrals nicht verstanden hast. Das Riemannintegral wird definitionsgemäß durch die Untersumme jeder Zerlegung des Integrationsintervalls nach unten abgeschätzt. Jeder Summand einer Untersumme hat die Form

$\begin{eqnarray*} \underline {M_i} \Delta x_i \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \underline {M_i} \end{eqnarray*}$ das Infimum von f im Teilintervall i. Nun gilt in der gesamten $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} f(x) \geq f(x_0)/2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch das Infimum von f in der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung und in jedem Teilintervall der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} \geq f(x_0)/2 \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} \underline {M_i} \geq \frac {f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)dx \geq \sum_i \underline {M_i} \Delta x_i \geq \sum_i \frac {f(x_0)}{2} \Delta x_i = \frac{f(x_0)}{2}\sum_i \Delta x_i = \frac{f(x_0)}{2}2\delta \end{eqnarray*}$

20.04.2013, 01:29

mrdo87

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Hallo,

sitze grade an der gleichen Aufgabe und mein Thema wurde dankenswerter Weise auf dieses Thema verlinkt. Soweit ist für mich auch alles super nachvollziehbar, schonmal vielen Dank für die eigentlich nicht für mich bestimmten, jedoch sehr ausführlichen Antworten.

Doch ein Schritt bereitet mir noch Kopfzerbrechen. Hoffe, die Frage ist nicht zu trivial Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \geq \int_{x_{0}-d }^{x_{0}+d } \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt kann ich leider nicht 100 prozentig nachvollziehen. Da f(x)>0 ist und WENN a<x0-d und b>x0+d ist, dann wäre der Schritt plausibel. Aber warum ist das so? verwirrt

20.04.2013, 09:07

Huggy

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Da f fast überall stetig ist, kann man den Stetigkeitspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ im Inneren von [a, b] wählen. Wenn man zu einem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gefunden hat, für das das $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium erfüllt ist, dann erfüllt auch jedes kleinere $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ das Kriterium. Man kann daher $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ problemlos so klein wählen, dass die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nicht über [a, b] hinausragt.

21.04.2013, 15:06

Coolguy21

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Wollte mich auch nochmal bedanken Freude

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