Grenzwert mit l'Hospital?

16.04.2013, 00:59	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit l'Hospital? Hallo, Mithilfe einer Riemann-Summe soll das Integral $\begin{eqnarray} \int_1^a \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Die ensprechende Summe habe ich soweit umgestellt, bis folgender Ausdruck rauskam: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}n(1-\frac{1}{a^{\frac{1}{n} } }) \end{eqnarray}$ Dieser Ausdruck sollte auch stimmten. Mein Problem besteht darin, diesen Grenzwert zu bilden. Dies sollte eigentlich mit der Regel von l'Hospital klappen. Doch leider kam ich damit nicht weit. Ich habe den Term etwas umgestellt und anschließend Zähler und Nenner abgeleitet. So taucht wenigstens schonmal der zu erwartende ln(a) auf. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}n(1-\frac{1}{a^{\frac{1}{n} } })= \lim_{x \to \infty } \frac{n(a^{\frac{1}{n} } -1)}{a^{\frac{1}{n} }}=\lim_{x \to \infty } \frac{(a^{\frac{1}{n} }-1)+n (-\frac{1}{n^{2}}) ln(a)a^{\frac{1}{n}} }{(-\frac{1}{n^{2}}) ln(a)a^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray}$ Stimmt meine Rechnung so weit? Wenn ja: wie soll ich weiter vorgehen? Wenn nein: Was habe ich falsch gemacht/könnte ich besser machen. Vielen Dank schonmal LG Domi
16.04.2013, 10:34	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist L'Hospital überhaupt der richtige Ansatz? Habe das Gefühl, dass ich es durch das Ableiten (nach n) nur schlimmer gemacht habe, grade weil durch die innere Ableitung von $\begin{eqnarray} a^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ der Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ hinzukommt....
16.04.2013, 11:16	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe davon aus, dass du $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\dots \end{eqnarray}$ meinst. Ersetze $\begin{eqnarray} n=\frac{1}{m} \end{eqnarray}$ und betrachte $\begin{eqnarray} \lim_{m \to 0} \dots \end{eqnarray}$ Probier es damit.
16.04.2013, 11:22	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich meine ich $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} ... \end{eqnarray}$ da habe ich mich wohl vertippt und danach immer kopiert.... Auf jeden Fall vielen Fank für den Tip! Damit klappt es problemlos.

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