Monotonie nachweisen

16.04.2013, 09:16

Hawkins

Monotonie nachweisen

Ich möchte gerne die Montonie der Folge bestimmen

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{4^{n}}{n^2} \end{eqnarray*}$ wobei n eine natürliche Zahl ist.

Vermutung: Streng monoton wachsend.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{(n+1)^2} > \frac{4^n}{n^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4^{n} * 4 * n^2 > 4^{n} * (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2n)^{2} > (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2n > n + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$

Aber n ist größergleich 1; folglich ist die Folge nicht streng monton, sondern nur monton wachsend. unglücklich

16.04.2013, 09:47

HAB

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RE: Monotonie nachweisen
Ab dem 2. Folgenglied sogar streng monoton wachsend.

16.04.2013, 10:19

Hawkins

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RE: Monotonie nachweisen

Zitat:

Original von HAB
Ab dem 2. Folgenglied sogar streng monoton wachsend.

Ja, aber sie ist doch schon ab dem 1. Folgenglied streng monoton wachsend, da n eine natürliche Zahl ist. Für reelle Zahlen und der Darstellung der 'Folge' als Funktion zeigt mir der Funktionsgraph dann auch das kurze Absinken im Bereich zwischen x = 1 und x = 2.
verwirrt

16.04.2013, 10:30

klarsoweit

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RE: Monotonie nachweisen

Zitat:

Original von Hawkins
Ja, aber sie ist doch schon ab dem 1. Folgenglied streng monoton wachsend, da n eine natürliche Zahl ist.

Eine tolle Begründung. unglücklich

Es ist offensichtlich a_1 = a_2 = 4 . Wo ist da eine strenge Monotonie? verwirrt

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