Polynome vs Polynomfunktionen

16.04.2013, 12:16	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome vs Polynomfunktionen Meine Frage: Wir haben in der Vorlesung neulich Polynome definiert als Funktionen f mit f(x)=0 für fast alle x aus dem Definitionsbereich. Somit konnte man Polynome als Folge (a_0,..., a_n, 0, 0, ...) darstellen, wobei n der höchste x-Wert ist der nicht null ist. Ein Polynom ließ sich dann als Linearkombination darstellen wobei die Koeffizienten die Bildwerte der Funktion f sind und die X^i die Basisvektoren ( Folgen) , die an der Stelle i den Wert 1 haben und sonst nur Nullen. Ich frage mich jetzt, wo der Zusammenhang zwischen Polynomen und Polynomfunktionen besteht? Meine Ideen: Wenn man z.B. bei einer Polynomfunktion x²-x die Nullstellen berechnet, erhält man 0 und 1. x=2 wird auf 1 abgebildet. Für das Polynom f, dargestellt als X²-X , gilt aber f(0) = 0, f(1)=-1, f(2)=1. Wo besteht also der Zusammenhang? lG
16.04.2013, 13:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant wird so etwas zum Beispiel über dem Körper $\begin{eqnarray} K = \mathbb{Z}_2 = \{ 0,1 \} \end{eqnarray}$ der ganzen Zahlen modulo $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Das Polynom $\begin{eqnarray} p(X) = X^2 + X \end{eqnarray}$ ist vom Grad $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , also nicht das Nullpolynom (als Folge geschrieben: $\begin{eqnarray} p = (0,1,1,0,0,0,\ldots) \neq (0,0,0,0,0,0,\ldots) \end{eqnarray}$ ) . Wenn du aber die Funktion $\begin{eqnarray} \tilde{p}(x): K \to K \, ,\ x \mapsto x^2 + x \end{eqnarray}$ betrachtest, was ist dann damit?
16.04.2013, 19:28	tobs	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome vs. Polynomfunktionen Die Funktion ist gleich der Nullfunktion. Aber die Zuordnungen des Polynoms, als Folge (0, 1, 1, 0, ...) haben also nichts mit den Zuordnungen der Polynomfunktion zu tun?

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