Gleichheit prüfen

16.04.2013, 13:12

blurry

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Gleichheit prüfen

Hallo,

gibt es irgendeine mathematische Operation damit ich ohne Ausrechnen beweisen kann dass die Terme rechts und links gleich sind.

sqrt(4² + 5²) + sqrt(6²+7²) = sqrt( (4+6)² + (5+7)² )

sqrt( ) berechnet einfach die Wurzel

Zweiten Beitrag hier eingefügt, sonst sieht's aus, als ob schon geholfen wird. Steffen

16.04.2013, 13:32

Steffen Bühler

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RE: Gleichheit prüfen
Es wird schwer, das zu beweisen, weil es nicht zutrifft.

Viele Grüße
Steffen

16.04.2013, 14:00

blurry

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RE: Gleichheit prüfen
Wenn ich die linke Seite ausrechne kommt das gleiche wie auf der rechten Seite raus !

16.04.2013, 14:02

Steffen Bühler

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RE: Gleichheit prüfen
Ich weiß nicht, wie Du das rechnest, aber bereits die dritte Kommastelle ist unterschiedlich.

16.04.2013, 14:50

blurry

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Ja die Kommastellen sind nur wegen dem Taschenrechner unterschiedlich !! square root ist eine irrationale Zahl die der Taschenrechner abschneiden muss. Deswegen der Fehler nach der 3. Kommastelle.

16.04.2013, 15:01

Steffen Bühler

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Ach so, Du willst sagen, dass die linke und rechte Seite in Wirklichkeit gleich sind, nur der Taschenrechner gaukelt uns eine Ungleichheit vor, weil er nur drei Kommastellen hinkriegt?

Das mag natürlich sein. Ich persönlich glaube allerdings meinem Computer.

Du kannst mich natürlich gerne überzeugen, indem Du die beiden Seiten ohne Taschenrechner auf drei Kommastellen berechnest. Es geht übrigens schneller, wenn Du links und rechts vorher quadrierst.

Viele Grüße
Steffen

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16.04.2013, 15:35

blurry

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zu 100% liegt es am Taschenrechner. Rechts vom Gleichheitszeichen ziehst du nur einmal die Wurzel . Links 2 mal. Da kann schon mal die 3.Nachkommastelle verloren gehen !!

16.04.2013, 15:46

watcher

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Fragen wir doch mal einen großen Taschenrechner:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr...B7%29%C2%B2+%29

Du scheinst sehr überzeugt zu sein, dass die Gleichheit hier stimmt.
Wie kommst du drauf?
Du verwendest nicht etwa die Rechenregel $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} = \sqrt{a} +\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ ?

16.04.2013, 16:04

HAL 9000

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Nein, sie/er verwendet die komplizierter aufgebaute, aber ebenso falsche Rechenregel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \stackrel{?}{=} \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \end{eqnarray*}$

Immerhin könnte man das als Gleichung betrachten und sich fragen, welchen (einfacheren, etwa "wurzelfrei" formulierten) Bedingungen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ genügen müssen, damit das dann doch mal gilt ... Big Laugh

Big Laugh

16.04.2013, 16:06

10001000Nick1

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Vielelicht mal eine etwas "mathematischere" Methode als stures Eintippen in den Taschenrechner. smile

smile

Wenn man die Gleichung ein bisschen umformt, erhält man $\begin{eqnarray*} \sqrt{3485}=59. \end{eqnarray*}$ Und das ist falsch, denn $\begin{eqnarray*} 59^2=3481\neq 3485. \end{eqnarray*}$ Also ist auch die ursprüngliche Gleichung falsch. Da wurde jetzt nichts gerundet, da geht keine Kommastelle verloren. Eben ein hieb- und stichfester Beweis, dass die Gleichung falsch ist. Big Laugh

Big Laugh

16.04.2013, 16:53

blurry

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Bei diesem Beispiel stimmts aber zu 100%

sqrt(4²+2²) + sqrt(6²+3² ) = sqrt ( (4+6) ² + ( 2+3)² )

Kann jeder gerne ausrechnen !

Ich bleib dabei es liegt am Taschenrechner smile

smile

16.04.2013, 17:28

10001000Nick1

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Gut, bei dem Beispiel ist die Gleichung richtig.

Aber noch einmal: Bei dem ersten Beispiel lag es NICHT am Taschenrechner. Die Abweichung kommt daher, dass die Gleichung einfach nur falsch ist. Ich hab es doch umgeformt (ohne Taschenrechner) und die Gleichung, die da raus kommt, ist falsch. Also auch die Ausgangsgleichung. Taschenrechner sind nicht doof. Das hatte schon einen Grund, warum der Taschenrechner beim ersten an der dritten Nachkommastelle etwas anderes angezeigt hat. smile

smile

Gib mal die zweite Gleichung in den Taschenrechner ein. Da müsste auf beiden Seiten EXAKT das selbe rauskommen.

16.04.2013, 17:39

Steffen Bühler

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Vielleicht noch eine abschließende Bemerkung:

Es gibt bestimmt viele (unendlich?) viele Zahlen a,b,c,d, für die gilt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \end{eqnarray*}$

Bringen wir mal die Wurzeln durch Quadrieren auf beiden Seiten weg:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 + 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}+c^2+d^2=(a+c)^2+(b+d)^2 \end{eqnarray*}$

Noch mal den Binom rechts anwenden:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 + 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}+c^2+d^2=a^2+2ac + c^2+b^2+2bd+d^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt einiges weg:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=2ac+2bd \end{eqnarray*}$

Durch 2 und noch mal quadrieren, dass auch die letzte Wurzel weg ist:

$\begin{eqnarray*} (a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+2abcd + b^2d^2 \end{eqnarray*}$

Links ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+2abcd + b^2d^2 \end{eqnarray*}$

Und wieder fällt was weg:

$\begin{eqnarray*} a^2d^2+b^2c^2=2abcd \end{eqnarray*}$

Und so kann mal leicht (und ohne Wurzel-Rundungsfehler) prüfen, ob die erste Gleichung aufgeht oder nicht.

Viele Grüße
Steffen

16.04.2013, 17:40

blurry

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Krass ist das aber schon. Wie kann es sein dass bei dem einen Beispiel selbst die Nachkommastellen alle richtig sind. Bei den anderen Beispiel ist erst die 3.Nachkommastelle falsch.

Wie auch immer es ist eine fast perfekte Näherungsformel. Ob sie nun stimmt oder nicht. Klar Zweifel sind angebracht smile

smile

16.04.2013, 17:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} a^2d^2+b^2c^2=2abcd \end{eqnarray*}$

Ich hatte eigentlich noch einen weiteren Schritt im Sinn:

$\begin{eqnarray*} (ad-bc)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$

Zusätzlich notwendig ist (aus dem Verlauf der Umformung ersichtlich) aber noch die Bedingung $\begin{eqnarray*} ac+bd\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Wink

Wink

16.04.2013, 17:45

watcher

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Damit du noch ein paar Formeln zum Spielen hast:

$\begin{eqnarray*} 1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 3987^{12} + 4365^{12} = 4472^{12}. \end{eqnarray*}$

16.04.2013, 17:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Ich hatte eigentlich noch einen weiteren Schritt im Sinn: ...

Wow, den hab ich nicht gesehen, danke.

Nun, auf das allererste genannte Beispiel übertragen:

a=4, b=5, c=6, d=7, also ist ad=28 und bc=30. Kann also nicht aufgehen.

Und damit gibt es auch tatsächlich unendlich viele Möglichkeiten für a,b,c,d.

16.04.2013, 18:02

HAL 9000

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@watcher

Die zweite "Gleichung" ist besser getarnt: Da stimmen wenigstens die dezimalen Endziffern links und rechts überein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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