Ungleichung zeigen

16.04.2013, 14:32	Robert90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen Meine Frage: Ich möchte zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_n = \frac{4^n}{n^2} \end{eqnarray}$ divergiert. Dafür habe ich mir überlegt, wenn ich zeigen kann dass $\begin{eqnarray} 4^n > n^3 \end{eqnarray}$ ist, folgt die Divergenz da $\begin{eqnarray} \frac{4^n}{n^2} > \frac{n^3}{n^2} = n \end{eqnarray}$ und n wächst über alle Grenzen hinaus wenn es gegen Unendlich geht. Meine Ideen: Ich habe versucht die Aussage $\begin{eqnarray} 4^n > n^3 \end{eqnarray}$ mittels Induktion zu zeigen, aber ich komme da irgendwie auf nichts sinnvolles. Könnte mir jemand einen Tipp geben?
16.04.2013, 14:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung zeigen Und wo klemmt's denn?
16.04.2013, 14:55	Robert90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab es mal so probiert: ... Induktionsschritt: n -> n+1 $\begin{eqnarray} 4^{n+1} = 4 4^n > 4 * n^3 = n^3 + n^3 + n^3 +n^3 > n^3 + 3n^2 +3n+1 = (n+1)^3 \end{eqnarray}$ Ich bin mir aber bei der Ungleichung $\begin{eqnarray} n^3 + n^3 + n^3 +n^3 > n^3 + 3n^2 +3n+1 \end{eqnarray*}$ nicht sicher.
16.04.2013, 15:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gilt natürlich nicht für jedes n, aber man kann leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray} n^3 \geq 3n^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n^3 > 3n \end{eqnarray}$ und n³ > 1 ist für alle n mit n >= 3.
16.04.2013, 15:30	Robert90	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, stimmt. Danke für die Hilfe!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »