Kuhn-Tucker-Optimierung mit zwei unabhängigen Variablen zwischen 0 und 1

16.04.2013, 18:43

Maxsp

Kuhn-Tucker-Optimierung mit zwei unabhängigen Variablen zwischen 0 und 1

Meine Frage:
Hallo,

Ich möchte eine Funktion F(x1,x2) unter den Nebenbedingungen x1,x2>=0 und x1,x2<=1 minimieren. Also, x1 und x2 dürfen nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Wie genau sieht dann die zu minimierende Lagrange/Kuhn-Tucker-Funktion aus? Muss ich jede dieser vier Nebenbedingungen einzeln in diese Funktion einfügen, sprich habe ich dann vier Lagrange-Parameter?

Besten Dank im Voraus für Eure Hilfe!

Meine Ideen:
Ich denke, dass die Lagrange-Funktion so aussehen muss, bin aber nicht sicher, ob man nicht die zwei Nebenbedingungen x1,x2>=0 weglassen kann:

L=F(x1,x2)+\lambda_1(1-x1)+\lambda_2(1-x2)+\lambda_3*x1+\lambda_4*x2

16.04.2013, 20:45

RavenOnJ

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Dein Problem lässt sich nicht mit Hilfe einer Lagrange-Funktion lösen, da du keinen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ hast.

17.04.2013, 04:19

Kasen75

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@Maxsp

Vielleicht hast du doch einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang. Aus deinem Beitrag kann man das in der Tat nicht erkennen.

Dann wäre die Lagrangefunktion:

$\begin{eqnarray*} L=F(x_1,x_2)+\lambda_1(1-x_1)+\lambda_2(1-x_2) \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ größer gleich Null sind, wird vorausgesetzt. Somit kann man diese Bedingungen in der Lagrangefunktion in der Tat weglassen.

Grüße.

17.04.2013, 11:41

Maxsp

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Vielen Dank für eure Antworten!

@Kasen75: Ich denke, das was du schreibst, ist genau das, was ich meine!

Also nochmal: Die Nebenbedingungen sind:

http://www.matheboard.de/latex2png/latex...20x_2-1\leq%200

Ich dachte auch, dass die Lagrange-Funktion so auusehen muss wie du sie angegeben hast, also dass die beiden erstgenannten Bedingungen weggelassen werden können.

Beste Grüße,
Max

17.04.2013, 13:01

Maxsp

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Hallo nochmal,

ich muss mich nochmal mit einer konkreteren Fragestellung an Euch wenden und würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könnt.

Die Zielfunktion lautet:

http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C(x_1,x_2)=\tfrac{1}{2}(1-e_1)(e_1+e_2-1)+\tfrac{1}{24}(e_2-e_1-1)^3+\tfrac{1}{3}e_1^3\\&\quad%20+\tfrac{1}{3}(1-e_2)^3+1-e_2-\tfrac{1}{24}(e_1-e_2-1)^3-\tfrac{1}{2}(1-e_2)(e_1+e_2-1)\\&\quad+\tfrac{1}{2}\left(e_1^2+e_2^2\right)

Ich möchte diese Funktion minimieren unter der Nebenbedingung, dass

http://www.matheboard.de/latex2png/latex...0e_2%20\leq%201

Also, die unabhängigen Variablen dürfen jeweils nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Das muss auf jeden Fall erfüllt sein.

Um einen direkten funktionalen Zusammenhang zwischen den unabhängigen Variablen e_1 und e_2 herzustellen, könnte man vielleicht noch schreiben:

http://www.matheboard.de/latex2png/latex...0e_2%20\leq%202

Somit wären die "eigentlichen" Nebenbedingungen auch abgedeckt.

Hat jemand vielleicht die Möglichkeit, dieses Problem in einem Mathe-Programm schnell zu lösen (Mathematica o.ä.)? Wäre Euch sehr verbunden für Eure Hilfe, da ich das Ergebnis dringend benötige.

Besten Gruß,
Max

PS: Kann mir vielleicht och jemand sagen, wie ich die Formeln aus dem Editor direkt einfügen kann? Da steht was von "Text kopieren und zwischen $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ einfügen" aber das verstehe ich nicht so ganz...

17.04.2013, 13:23

RavenOnJ

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Würdest du mal bitte den Latex-Code in Latex-Tags packen?

code:
1:	[l]...[/l]

oder

code:
1:	[latex]...[/latex]

Anstelle der Punkte kommt der Latex-Code rein.

17.04.2013, 14:01

Maxsp

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Hey,

sorry, aber irgendwie zeigt der die Formeln nicht an. Also:

[latex]C(e_1,e_2)=\frac{1}{2}(1-e_1)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{24}(e_2-e_1-1)^3+\frac{1}{3}e_1^3 +\frac{1}{3}(1-e_2)^3+1-e_2-\frac{1}{24}(e_1-e_2-1)^3-\frac{1}{2}(1-e_2)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{2}(e_1^2+e_2^2)[\latex]

und der Vollständigkeit halber:

[l]C(e_1,e_2)=\frac{1}{2}(1-e_1)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{24}(e_2-e_1-1)^3+\frac{1}{3}e_1^3 +\frac{1}{3}(1-e_2)^3+1-e_2-\frac{1}{24}(e_1-e_2-1)^3-\frac{1}{2}(1-e_2)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{2}(e_1^2+e_2^2)[\l]

Was mach ich denn falsch? verwirrt

17.04.2013, 14:22

Maxsp

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Hey,

sorry, jetzt hab ich`s raus! Also:

$\begin{eqnarray*} \min_{e_1,e_2} C(e_1,e_2)=\frac{1}{2}(1-e_1)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{24}(e_2-e_1-1)^3+\frac{1}{3}e_1^3 +\frac{1}{3}(1-e_2)^3+1-e_2-\frac{1}{24}(e_1-e_2-1)^3-\frac{1}{2}(1-e_2)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{2}(e_1^2+e_2^2) \end{eqnarray*}$

s.t.

$\begin{eqnarray*} 0\leq e_1 \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq e_2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ich denke, man muss diese NB getrennt schreiben als:

$\begin{eqnarray*} 0\leq e_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_1\leq 1 \Leftrightarrow e_1-1\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2\leq 1 \Leftrightarrow e_2-1\leq 1 \end{eqnarray*}$

Eventuell müsste man um zwischen $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ einen funktionalen Zusammenhang herzustellen, als zusätzliche NB schreiben:

$\begin{eqnarray*} e_1+e_2 \leq 2 \end{eqnarray*}$

17.04.2013, 18:55

Maxsp

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Hallo nochmal,

da die Informationen, die ich zuvor angegeben hatte, ganz schön durcheinander geraten sind, liste ich hier nochmal alles auf mit der dringenden Bitte um Hilfe.

Die Zielfunktion lautet:

$\begin{eqnarray*} C(e_1,e_2)=\frac{1}{2}(1-e_1)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{24}(e_2-e_1-1)^3+\frac{1}{3}e_1^3+\frac{1}{3}(1-e_2)^3+1-e_2-\frac{1}{24}(e_1-e_2-1)^3-\frac{1}{2}(1-e_2)(e_1+e_2-1)+\frac{1}{2}\left(e_1^2+e_2^2\right) \end{eqnarray*}$

Die Werte für $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ dürfen nur zwischen 0 und 1 liegen, wobei idealerweise zusätzlich gelten sollte $\begin{eqnarray*} e_1 \leq e_2 \end{eqnarray*}$ .

Das Ziel lautet:

$\begin{eqnarray*} \min_{e_1,e_2} C(e_1,e_2)~~ s.t. &e_1 \leq 1 \Leftrightarrow e_1-1 \leq 0<br /> &e_2 \leq 1 \Leftrightarrow e_2-1 \leq 0 <br /> &e_1\geq 0<br /> &e_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich wäre Euch sehr sehr verbunden, wenn das jemand in einem Programm mit Kuhn-Tucker-Optimierung lösen könnte.

Wie man an der Zielfunktion sehen kann, ist eine manuelle Berechnung mindestens sehr sehr aufwändig.

Viele Grüße,
Max

17.04.2013, 19:19

Kasen75

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Hallo,

ich habe mal die Zielfunktion in den Grenzen mir zeichnen lassen (siehe Anhang). Man sieht, dass das Minimum bei ( $\begin{eqnarray*} x^*=0,y^* \end{eqnarray*}$ ) liegt.
Ich habe diese Funktion eingegeben:
$\begin{eqnarray*} 1/2*(1-x)*(x+y-1)+1/24*(y-x-1)^3+1/3*x^3 +1/3*(1-y)^3<br /> +1-y-1/24*(x-y-1)^3-1/2*(1-y)*(x+y-1)+1/2*(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$
Das solltest du selber noch mal überprüfen, ob ich mich nicht verschrieben habe.

Dann habe ich bei Wolfram alpha das eingegeben, was in dem Link (Klick) zu sehen ist. Mit der Maßgabe x=0 hat er auch ein Minimum gefunden.
Auch hier solltest du die Eingabe nochmal überprüfen.

Wenn du es rechnerisch ermitteln willst, solltest du vielleicht mal damit anfangen. smile

18.04.2013, 10:28

Maxsp

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Hallo Kasen75,

genau sowas hatte ich mir gestern auch überlegt - dann wäre Kuhn-Tucker obsolet.

Danke schonmal für deine Hilfe. Jetzt muss ich nur schauen, ob das so durchgeht (die Lösung ist ja in jedem Fall die selbe) oder ob man in meinem Falle stur K-T anwenden muss...

Viele Grüße,
Max

18.04.2013, 11:02

Kasen75

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@Maxsp

Da ich nicht weiß, weswegen du das Problem lösen willst bzw. wie die wortwörtliche Aufgabenstellung ist, kann ich nichts dazu sagen, ob du KKT anwenden musst.

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