Mit der Kettenregel ableiten

16.04.2013, 19:27

daniel22

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Mit der Kettenregel ableiten

Meine Frage:
Hallo.
Ich soll den Definitionsbereich bestimmen und die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$\begin{eqnarray*} y=ln\frac{2}{x^{2}}+ln\frac{x+8}{x} \end{eqnarray*}$

Allgemeine Form:

$\begin{eqnarray*} f(x)=F(u(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x) \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} u_1=\frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2=\frac{x+8}{x} \end{eqnarray*}$

Äußere Funktion:

$\begin{eqnarray*} y=F(u)=ln(u_1)+ln(u_2) \end{eqnarray*}$

Innere Funktion:

$\begin{eqnarray*} u_1(x)=\frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2(x)=\frac{x+8}{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Die Ableitung muss ich von der inneren bzw. äußeren Funktion noch machen.

Edit Equester: Latex korrigiert.

16.04.2013, 19:54

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Hi,

bis jetzt stimmt eigentlich alles.
Aber $\begin{eqnarray*} y=F(u)=ln(u_1)+ln(u_2) \end{eqnarray*}$ ist so la la, du betrachtest jede Funktion einzeln, also $\begin{eqnarray*} y_1=F(u)=ln(u_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2=F(u)=ln(u_2) \end{eqnarray*}$ , aber etwas schlampig geschrieben, kannst du's so machen.
Dann bestimm noch die Ableitung.

Lg Daniel

16.04.2013, 20:22

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Äußere Funktion:

$\begin{eqnarray*} y_1'=\frac{1}{x}(u_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2'=\frac{1}{x}(u_2) \end{eqnarray*}$

Innere Funktion:

$\begin{eqnarray*} u_1'(x)=-\frac{4}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2'(x)=-\frac{8}{x^2} \end{eqnarray*}$

so?

Edit Equester: Latex korrigiert.

16.04.2013, 20:26

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Ja, soweit so gut,

dann weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lg Daniel

16.04.2013, 20:43

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x}\cdot \frac{2}{x^2} \cdot (-\frac{4}{x^3}) + \frac{1}{x} \cdot \frac{x+8}{x}\cdot (-\frac{8}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Dann nur noch zusammenfassen

Edit Equester: Latex korrigiert.

16.04.2013, 20:53

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Nee, da du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}(u_1) \end{eqnarray*}$ musst du dich schon dran halten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac{2}{x^{2}})}*u_1'(x) \end{eqnarray*}$ auch beim zweiten Term, sonst stimmts..

Lg Daniel

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16.04.2013, 21:14

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
So müsste es stimmen. Habe es noch zusammengefasst.
Aber ich muss ja noch den Definitionsbereich bestimmen. Wie mache ich das?

16.04.2013, 21:18

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Hi,

also dein Ergebnis ist soweit ich jetzt gesehen habe, richtig. Freude

Freude

Hast du generell jetzt verstanden, was du bei der Kettenregel zu tun hast?

Nunja, zum Definitionsbereich: Überlege dir, für welche Werte die Brüche nicht definiert sind und für welche Werte der Logarithmus definiert ist.
Damit solltest du nun was anfangen können.

Lg Daniel

16.04.2013, 21:26

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten

Zitat:

Original von HammerTobi
Nee, da du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}(u_1) \end{eqnarray*}$ musst du dich schon dran halten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac{2}{x^{2}})}*u_1'(x) \end{eqnarray*}$

Lg Daniel

Diese Stelle hab ich nicht so ganz verstanden, warum das unter den Bruchstrich musste.
Aber sonst hab ichs verstanden.

Der Bruch darf nicht 0 werden und die Zahlen müssen positiv sein, da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist aber woher weis ich genau die Definitionswerte von wo bis wo sie definiert sind?

16.04.2013, 21:35

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten

Zitat:

Zitat:

Original von HammerTobi
Nee, da du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}(u_1) \end{eqnarray*}$ musst du dich schon dran halten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac{2}{x^{2}})}*u_1'(x) \end{eqnarray*}$

Diese Stelle hab ich nicht so ganz verstanden, warum das unter den Bruchstrich musste.
Aber sonst hab ichs verstanden.

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}(u_1) \end{eqnarray*}$ ist folgendes gemeint: 1/x an der Stelle u1,

Edit: Es muss f' bei den letzten beiden fs heißen!!
die Kettenregel besagt ja: f(u(x))'=f'(u(x))*u'(x), also setzt du u(x) in dein f'(x), dein f'(x) ist bei deiner Aufgabe, wie du gut erkannt hast, 1/x.

Zur Def-Menge:
Der Bruch selbst darf Null werden (setz mal -8 ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

), was darf nicht Null werden?
Du hast selbst gesagt, der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, was liegt dann auf der Hand, zu tun?

Lg Daniel

16.04.2013, 21:49

Equester

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@daniel:
Achte bitte darauf ' zu verwenden, anstelle von ´ (ersteres ist direkt neben der Entertaste zu finden).

Wink

Wink

16.04.2013, 21:51

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Sollte so stimmen. Hab einfach testweise nachgerechnet, sodass der Bruch nicht 0 wird und die Zahl vom ln nicht negativ oder 0 ist.

Danke für die gute Erklärung.
So müssten alle hier helfen.

Gruß
auch Daniel ;-)

16.04.2013, 21:58

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Probier doch mal, x=-1 einzusetzen, dann siehst du, obs klappt, oder nicht..

Lg Daniel

16.04.2013, 22:01

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Bei x=-1 gehts nicht, da ln(-7) nicht definiert ist

16.04.2013, 22:04

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Hmh, aber das liegt in dem von dir angegebenen Definitionsbereich, so wie ich das seh.. außerdem ist -8>x>0 kein gültiges Intervall, da -8 nicht größer als Null ist.

Lg Daniel

16.04.2013, 22:12

daniel22

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RE: Mit der Kettenregel ableiten
Hab gemeint ich kann das so angeben.
Dann eher so?
x<-8 ; x>0
Oder wie kann man das sonst noch angeben?

16.04.2013, 22:22

HammerTobi

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RE: Mit der Kettenregel ableiten

Zitat:

Original von daniel22
Hab gemeint ich kann das so angeben.
Dann eher so?
x<-8 ; x>0
Oder wie kann man das sonst noch angeben?

Wenn du das gemeint hast, dann stimmts.
z.B.:

Edit:
$\begin{eqnarray*} \left\{ { x \in \mathbb R | x<-8 \vee x>0 }\right\} \end{eqnarray*}$
oder:
Edit2:
$\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,-8) \cup (0,+\infty ) \end{eqnarray*}$

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