Konvergenz einer Folge bezüglich einer Metrik im R^N

16.04.2013, 20:19	Guenther H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge bezüglich einer Metrik im R^N Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem: Gegeben sind $\begin{eqnarray} x, y \in \mathbb R ^ \mathbb N \end{eqnarray}$ (Raum aller reellen Zahlenfolgen). Sei auf $\begin{eqnarray} \mathbb R ^ \mathbb N \end{eqnarray}$ eine Metrik definiert als: $\begin{eqnarray} d(x,y) = \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\| x_{k} - y_{k} \| }{2^k (1+ \| x_{k} - y_{k} \|) }} \end{eqnarray}$ . Ich würde gerne zeigen, dass für eine Folge $\begin{eqnarray} (x^{(n)})_{n \in \mathbb N} \in \mathbb R ^ \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} d(x^{(n)}, x) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \| x^{(n)}_{k} - x_{k} \| = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich hatte bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \| x^{(n)}_{k} - x_{k} \| = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} d(x^{(n)}, x) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Daher habe ich einen Widerspruch angesetzt: Es gelte also $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N \forall n \geq N : d(x^{(n)}, x) < \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \| x^{(n)}_{k} - x_{k} \| \geq \epsilon \end{eqnarray}$ Ich habe daraufhin die Reihe abgeschätzt: $\begin{eqnarray} \epsilon > \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\| x^{(n)}_{k} - x_{k} \| }{2^k (1 + \| x^{(n)}_{k} - x_{k} \|)}} \geq \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\epsilon}{2^k * (1 + \epsilon)}} = \frac{\epsilon}{1 + \epsilon} \end{eqnarray}$ , was jedoch kein Widerspruch ist. Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Neuer Ansatz: $\begin{eqnarray} d(x,y) = \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{\| x_{k} - y_{k} \| }{2^k * (1+ \| x_{k} - y_{k} \|) }} < \epsilon \Rightarrow \frac{\| x_{k} - y_{k} \| }{2^k * (1+ \| x_{k} - y_{k} \|) } < \epsilon ~ \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Also folgt nun mit $\begin{eqnarray} \epsilon < 2^{-k} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{\| x_{k} - y_{k} \| }{(1+ \| x_{k} - y_{k} \|) } < \underbrace {2^{k} * \epsilon}_{=: \delta} \Rightarrow \| x_{k} - y_{k} \| < \underbrace {\frac{\delta}{1 - \delta}}_{=: \theta} \underbrace {\to}_{\delta \to 0} 0 \end{eqnarray*}$ Damit ist die Behauptung gezeigt.
11.01.2014, 09:57	Hamude	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin zwar nicht der Threadersteller, aber ich überlege gerade wie man folgende Sachen beweisen kann, hat jemand eine Idee?: a) Zeigen, dass die angegebene Reihe konvergiert. b) Beweisen, dass d eine Metrik auf s ist (s sei die Menge aller reellen Zahlenfolgen)

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