Offenes Intervall durch abgeschlossene Intervalle

16.04.2013, 23:07

HammerTobi

Offenes Intervall durch abgeschlossene Intervalle

Hallo, hab da etwas, das mir in nem Beweis vielleicht noch nicht ganz klar ist, deshalb frag ich hier einfach mal.

Folgendes haben wir aufgeschrieben:

Falls I nicht abgeschlossen ist, so gibt es eine Folge
$\begin{eqnarray*} I_0 \subseteq I_1 \subseteq ... \subseteq I \end{eqnarray*}$
abgeschlossener Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=0}^\infty I_k=I \end{eqnarray*}$

Ist das wirklich so, kann ich ein offenes Intervall durch eine Folge abgeschlossener Intervalle 'darstellen'?
Komme ich dann auch anschaulich gesprochen an die Randpunkte dran?

Zugegeben, uns fehlt echt die Vorlesung Topologie, hoffentlich gibts das nächstes Semester smile

Lg Daniel

16.04.2013, 23:20

watcher

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Hallo,

gehe ich richtig in der Annahme dass I ein Intervall ist?

Du kannst offene Intervalle immer so darstellen:
$\begin{eqnarray*} ]a,b[= \bigcup_{n=N}^\infty [a+\frac{1}{n} , b-\frac{1}{n}] \end{eqnarray*}$ (N groß genügend um sicherzustellen, dass die Intervalle nicht leer sind.)

16.04.2013, 23:23

HammerTobi

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Ja, I ist ein Intervall!

Vielen Dank, das wusste ich nicht Augenzwinkern

Lg Daniel

16.04.2013, 23:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von watcher
Du kannst offene Intervalle immer so darstellen:
$\begin{eqnarray*} ]a,b[= \bigcup_{n=N}^\infty [a+\frac{1}{n} , b-\frac{1}{n}] \end{eqnarray*}$ (N groß genügend um sicherzustellen, dass die Intervalle nicht leer sind.)

Für halboffene Intervalle muss man das natürlich noch leicht abändern.

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