Lösen von nicht linearen Gleichungssystemen - Newtonverfahren

16.04.2013, 23:44

Franz H

Lösen von nicht linearen Gleichungssystemen - Newtonverfahren

Hallo,

ich sitzer jetzt schon den ganzen Tag am ersten Beispiel und komme nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} u^2-v^2-x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2uv-y=0 \end{eqnarray*}$

Bisher haben wir in den VOs immer nur einzelne Gleichungen betrachtet der Art: F(x,y) = 0. Dann haben wir die erste Variable fixiert und mit Hilfe des Lösungskeimes und das Newtonverfahren nach der zweiten variable angewendet und somit den Lösungszweig beschrieben.

Aber jetzt wird es doch sehr schwierig für mich, denn ich habe jetzt 2 Gleichungen und ich weißnicht wie ich ganz ansetzen soll, da mir die letzte VO sehr abstrakt war.

Ich muss das Gleichungssystem nach u und v berechnen wobei ich vom Lösungskeim (u,v,x,y)=(1,0,1,0) ausgehe.

Wie soll ich ansetzen?

Ich weiß dass die Jakobi Determinante ungleich 0 ergeben muss:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}} & {\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}} \\ {\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}} & {\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}} \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Aber wieso genau eigentlich? Hängt das mit dem Newtonverfahren zusammen??
Wie kann ich mir das vorstellen?
Ich verzweifle schon langsam weil im net ist gar nichts über solche aufgaben zu finden... bitte um Hilfe!

17.04.2013, 00:17

Lampe16

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Falls x und y fest sind, siehe Wikipedia!

Wenn nicht, weiß ich auch nicht weiter.

17.04.2013, 14:41

Franz H

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ja, das x und y sind konstant. Aber Wikipedia ist echt schlecht beim Erklären. Könnte mir jemand erklären wie ich die Jakobi Matrix in dem Zusammenhang verwende? Ich habe mir schon viele Sachen durchgelesen aber komme auf keine Verbindung mit der Determinante??

Ich weiß das Thema ist nicht sehr beliebt, weil es schwierig ist, aber ich Frage jemanden, der mir wirklich helfen könnte, also wirklich erklären kann was da vor sich geht. Da helfen die Standard Artikel nicht.

Danke nochmal

17.04.2013, 15:57

Lampe16

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Ich verwende mal etwas, was ich früher geschrieben habe.

Die Idee zur Lösung des Gleichungssystems liegt wieder in der Näherung der nichtlinearen Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bis
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ durch lineare Ausdrücke. Als Beispiel nehmen Sie die Funktion
$\begin{eqnarray*} f_1(\overline{x})=f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ . In der Nähe der willkürlich festzulegenden Schätzlösung
$\begin{eqnarray*} {}^s\overline{X} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ durch die Linearkombination
$\begin{eqnarray*} g_1(\overline{x})=f_1({}^s\overline{X})+\sum\limits^n_{\mu=1}\left.\frac{\partial f_1}{\partial x_\mu}\right|_{{}^s\overline{X}}\cdot \left(x_\mu-{\,}^sX_\mu\right) \end{eqnarray*}$
approximiert.

In den entsprechenden Ausdrücken für die übrigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ treten deren Werte und
deren partielle Ableitungen an der Stelle $\begin{eqnarray*} {}^s\overline{X} \end{eqnarray*}$ auf. Man
fasst sie in dem Vektor $\begin{eqnarray*} \overline{f}(^s\overline{X}) \end{eqnarray*}$ bzw. in der nach C. G. Jakobi
benannten $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} \overline{\overline{J}}(^s\overline{X}) \end{eqnarray*}$ zusammen. Damit erhält man

$\begin{eqnarray*} \overline{f}(^s\overline{X})=\left(\begin{array}{c}f_1(^s\overline{X})\\\vdots\\f_n(^s\overline{X})\end{array}\right)\quad\hbox{bzw}\quad \overline{\overline{J}}(^s\overline{X})= \left(\begin{array}{ccc} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\right|_{{}^s\overline{X}}& \cdots&\left.\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\right|_{{}^s\overline{X}}\\\vdots&&\vdots\\\left.\frac{\partial f_n}{\partial x_1}\right|_{{}^s\overline{X}}&\cdots&\left.\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\right|_{{}^s\overline{X}}\end{array}\right). \end{eqnarray*}$

Man löst das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \overline{\overline{J}}(^s\overline{X})\overline{K}=-\overline{f}(^s\overline{X}) \end{eqnarray*}$

nach dem Korrekturvektor $\begin{eqnarray*} \overline{K} \end{eqnarray*}$ auf und berechnet damit die verbesserte
Schätzlösung

$\begin{eqnarray*} {}^v\overline{X}={\,}^s\overline{X}+\overline{K}. \end{eqnarray*}$

Die Gln. bilden wieder eine Iterationsvorschrift: Man stuft die verbesserte Lösung $\begin{eqnarray*} {}^v\overline{X} \end{eqnarray*}$ zur neuen Schätzlösung zurück und verbessert sie, indem die Gln. erneut durchlaufen werden. Das Verfahren konvergiert fast immer nach wenigen Durchläufen.

Das könnte genügen.

20.04.2013, 00:41

Franz H

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Lampe16, ich weiß es wird dich nicht sehr freuen, aber dein Beitrag hat mir nicht sehr geholfen. Ich weiß als Mathematiker ist es vielleicht leicht so etwas aufzuschreiben, weil man weiß was eigentlich dahinter steckt, aber als ein Student der es nur zugern nur verstehen möchte was da im detail passiert ist das nicht besonders hilfreich von dir. Bei mir sitzen 6 Kollegen und keiner weiß so richtig etwas damit anzufangen...

Also meine Kenntnisse sind folgende:
Die Matrix darf nicht 0 sein, da ja sonst die Newtonformel nicht funktioniert wenn ich auf die jeweilige Variable umforme.
Und da ja alle nicht 0 sind darf ich auf alles umformen und rechnen.

Ich weiß man kann die quadratische Formel verwenden, ich will sie aber nicht verwenden, denn ich möchte verstehen wie es sonst iterativ zu lösen wäre-

Ich habe also wenn ich F1 betrachte und umforme:
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{v^2+x} \end{eqnarray*}$

Diese Glechung kann ich in F2 einsetzen und erhalte:
$\begin{eqnarray*} v=\frac{y}{2\sqrt{v^2+x}}\Rightarrow 0=2v\sqrt{v^2+x}-y \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich die Newtonformel anwenden

$\begin{eqnarray*} v = v^* - \frac{2v\sqrt{v^2+x}-y}{(2v\sqrt{v^2+x}-y)'} \end{eqnarray*}$

habe ich dann ein v berechnet so kann ich es wieder in
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{v^2+x} \end{eqnarray*}$

einsetzen und ich erhalte meine Lösungen.

Ist diese Vorgangsweise prinzipiell richtig?
Stimmt meine Annahmen, das die Determinante nur ungleich 0 sein muss, damit ich die Newtonformel anwenden kann?

20.04.2013, 08:54

Lampe16

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Es geht anders. Rückfrage: Bist du mit der Matrixschreibweise von linearen Gleichungssystemen vertraut? Das würde mir die Antwort erleichtern.

20.04.2013, 10:53

Franz H

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Zitat:

Bist du mit der Matrixschreibweise von linearen Gleichungssystemen vertraut?

Von linearen schon, aber das sind keine linearen Gleichungen.

20.04.2013, 11:34

Lampe16

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Ich muss jetzt mal vom Rechner weg. Nur soviel: Ich fasse deine Aufgabe als zwei nichtlineare Gleichungen mit den Unbekannten u und v auf, und für x und y sind feste Zahlen gegeben. Wenn das so ist, nenn mir bitte x und y, damit ich konkret antworten kann.

20.04.2013, 11:46

Franz H

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Zitat:

und für x und y sind feste Zahlen gegeben

x und y sind keine Festen Zahlen, sondern auch variabel. Ich möchte nur ausrechnen ein u(x,y) und ein v(x,y).
Das ist der Satz über implizite Funktionen, nur ist es haltim mehrdimensionalen nicht immer gut vorzustellen.

20.04.2013, 14:00

Lampe16

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Sorry, ich hatte es für Numerik gehalten. Dafür trotzdem ein Beispiel in Scilab (Freeware), das du wahrscheinlich interpretieren kannst.

x=2;
y=3;
absK=1;//Startwert Korrektur
Suv=[1; //Schätzwerte von u und v
0.5];
while absK>1e-6//Fehlertoleranz
f=[Suv(1)^2-Suv(2)^2-x;2*Suv(1)*Suv(2)-y];//Funktionenvektor, dessen Nullstelle(n) gesucht sind.
J=[2*Suv(1) -2*Suv(2);//Jakobi-Matrix
2*Suv(2) 2*Suv(1)];
K=inv(J)*(-f);//Korrektur
Suv=Suv+K;//verbesserter Schätzvektor
absK=sqrt(K(1)^2+K(2)^2);//Betrag der Korrektur
[absK Suv']
end

Ausdruck:
ans =

1.0547512 1.9 1.05
ans =

0.2562385 1.6874005 0.9069629
ans =

0.0171369 1.6741978 0.8960376
ans =

0.0000773 1.6741492 0.8959775
ans =

1.575D-09 1.6741492 0.8959775

Nun zur Algebra:
Z. B. 2. Gl. nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ auflösen. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in die 1. Gl. einsetzen. Dann steht da eine Gl. , in der nur noch $\begin{eqnarray*} x,~y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ vorkommen, nämlich
$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{4}v^{-2}-v^2=x. \end{eqnarray*}$
Die hat vier Lösungen v(x,y). Die habe ich nicht selber gerechnet, aber mein Algebrasolver konnte es.
Mit u wird es ähnlich ablaufen.

Eine iterative algebraische Lösung kenne ich nicht. Oder ist einfach gemeint, das numerische Verfahren von den Zahlenwerten befreit mit den entsprechenden Variablen hinzuschreiben? Dann kannst du den obigen Code doch gebrauchen.

Bei nur 2 Unbekannten kann man sich das Newton-Verfahren noch räumlich vorstellen, indem man die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f_1(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(u,v) \end{eqnarray*}$ als Raumflächen über der u-v-Ebene aufträgt. Die Lösung ist dann der Schnittpunkt der beiden Schnittkurven von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ mit der u-v-Ebene. Statt der nichtlinearen Originalfunktionen nimmt man aber die Tangentialebenen in den Schätzpunkten, was auf ein lineares Gleichungssystem führt.

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