Schnittgerade Ebene - Koordinatenform

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade Ebene - Koordinatenform
Hallo,

Eine Frage zu Ebenen:

Wenn ich zwei Ebenen schneide und beide haben ein = 0. (*Was wenn nur einer einen hat? )

Bsp(beliebig):




Dann reicht es das Vektorprodukt zu bilden und den Ortsvektor als Stützvektor zu nehmen. verwirrt

Warum ist dies bei einem orthogonalen Skalarprodukt vom Normalv. mit einem Punkt nicht. ( = die rechte Seite einer koordinatenform verwirrt )

Bsp:



lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ob rechts Null steht, oder nicht, ist unerheblich, das Vorgehen bleibt das gleiche.
Dein eher kryptischer Text ist wieder einmal schwer zu entziffern.
Das Vektorprodukt von wem? Und welcher Ortsvektor?

mY+
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn rechts null steht, brauchen wir keinen Stützpunkt für unsere Schnittgerade suchen, da wir als Richtungsvektor den Normalvektor zu unserer Geraden und Ebene nehmen und als Stützpunkt den Nullpunkt, Uhrsprungspunkt bzw. Ortsvektor von 0 bzw.


Wir bilden das Vektorpdukt von unserem Normalvektor der Ebene und dem Richtungsvektor unserer Geraden.

Erhalten dadurch einen Vektor, der Normal zur Ebene und zur Geraden steht.

lg
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Noch anzumerken ist, dass es mehrere Methoden gibt um eine Schnittgerade zu berechnen.

Welche ist, aus welchem Grund die Beste?

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du beide Ebenen in Koordinatenform hast, dann bleibt nur, das LGS zu lösen. Dieses beantwortet dir auch Fragen wie echt parallel oder identisch.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Wie sieht es in der Parameter und in mischformen aus, also wenn einers in der Parameter und eines in der Normalform ist.

lg

Ps.
Zitat:
Wenn ich zwei Ebenen schneide und beide haben ein = 0. (*Was wenn nur einer einen hat? )

Zitat:
Ob rechts Null steht, oder nicht, ist unerheblich, das Vorgehen bleibt das gleiche.


Was wenn eine Gleichung = 0 hat?

Ich darf ja bei zweimaligem = 0 den Ortsv. 0 als Stützvec. meiner Schnittgeraden nehmen.
Warum?
Weil beide Ebenen durch den Uhrsprung gehen?

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du brauchst dich nicht um Null oder nicht Null kümmern.

Du brauchst auch nicht den Nullvektor als stützvektor "nehmen".

Du musst nur das LGS lösen. Das regelt alle Fragen automatisch.

---------------------

Bei gemischter Form wird eingesetzt.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Dann mache ich das mal mit den obigen zwei Beispielen. Big Laugh
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
wenn du beide Ebenen in Koordinatenform hast, dann bleibt nur, das LGS zu lösen.
...


Nicht unbedingt. Das Kreuzprodukt der beiden Normalvektoren ist schon der Geradenvektor und ein Stützpunkt (gemeinsamer Punkt der beiden Ebenen) wird sich auch finden lassen (kommt auf die Angabe an). Zugegebenermaßen läuft letzteres auch auf ein Gleichungssystem hinaus.

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nicht unbedingt. Das Kreuzprodukt der beiden Normalvektoren ist schon der Geradenvektor und ein Stützpunkt (gemeinsamer Punkt der beiden Ebenen) wird sich auch finden lassen (kommt auf die Angabe an). Zugegebenermaßen läuft letzteres auch auf ein Gleichungssystem hinaus.


bei = 0

nimmt man einfach den Ortvec. vom Uhrsprung und ich verstehe nicht warum. verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Weil beide Ebenen durch den Nullpunkt gehen.
Daher tut dies auch die Schnittgerade und damit hast du schon einen Stützpunkt!
Der Richtungsvektor ist letztendlich das Vektor-(Kreuz-)produkt der beiden Normalvektoren (0; 1; 1) und (3; -2; 1)
____________

Übrigens heisst das Ursprung, es hat mit einer Uhr nichts zu tun.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

weil man ein LGS immer und jederzeit lösen können sollte, bin ich mehr für diesen Weg.

Das Kreuzprodukt muss man kennen, und ist auch per Hand mit einer gewissen Arbeit verbunden, samt Fehlermöglichkeit.

---> empfehle das LGS, und dabei ist es egal ob eine oder beide Ebenen oder keine den Ursprung enthalten.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich die Aufgaben mit einem LSG zu Ende bringen. Freude
a.




LGS verwirrt

(i) y + z = 0
(ii) 3x - 2y + z = 0

3. Variablen - aber nur 2 Gleichungen = Problem.

Dazu hat die zweite Variable ein x verwirrt

(i) y + z = 0
(ii) - 2y + z = 0
Ich tue das "3x" in der zweiten Gleichung einfach auch weg.
(i) - (ii) = y = 0
setze ich nun in (i) ein = z = 0



für was steht:




lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

O je, da stimmt gar nichts und es ist auch ein pures Chaos!
LGS = Lineares GleichungsSystem

Wenn das Auflösen per Gleichungssystem solche Schwierigkeiten macht, bin ich doch eher für den bereits angedachten anderen Weg. Big Laugh

Nichtsdestoweniger muss man natürlich auch den Weg per Gleichungssystem können (und kennen).
3x einfach weglassen ist jedenfalls fatal und NICHT erlaubt, ausser wenn x = 0 ist.
Zweitens, wenn mehr Variable als Gleichungen vorhanden sind, muss für eine der Variablen ein Parameter eingeführt werden.

Schließlich ist dieser Parameter auch in der Parameterform des Resultates (--> Gerade!) zu finden.

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist dies eigentlich meine Schnittgerade?
Herleitung oder dergleichen verwirrt




x = a

(i) y + z = 0
(ii) 3a - 2y + z = 0
-----------------------

(i) - (ii) = - 3a - y = 0; y = -3a

setze ich nun in (i) ein.

-3a + z = 0

z = 3a
--------------------------


verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll immer auf der linken Seite das

Zitat:


eigentlich bedeuten?
Wenn du damit den allgemeinen Vektor ausdrücken willst, dann genügt bereits . Denn dieser Vektor enthält ja schon die Komponenten x1, x2, x3 und wird keinesfalls nochmals mit diesen multipliziert.

Und: Beim Subtrahieren der beiden Gleichungen ist dir ein Fehler unterlaufen!
Denke noch daran, dass (NUR!) der Richtungsvektor abgekürzt werden kann, also beispielsweise (3; 3; 3) letztlich zu (1; 1; 1)

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Warum ist dies eigentlich meine Schnittgerade?
Herleitung oder dergleichen verwirrt
...

Für die gemeinsamen Punkte der beiden Ebenen müssen auch deren beide Gleichungen gemeinsam gelten.
Somit gewinnt man mittels der Auflösung des ganzen Systemes alle Punkte, die auf beiden Ebenen gleichzeitig liegen, das ist somit die Schnittgerade.

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

(i) y + z = 0
(ii) 3a - 2y + z = 0
-----------------------

(i) - (ii) = - 3a - y = 0; y = -3a

heißt es hier nicht:

0a - 3a = - 3a verwirrt
--------------------------


manchmal steht da auch ein großes x (X) statt

diese Ebene scheint mir aufgrund seines Stützp. und Richtungsv. besonders.

lg

Ps.
Ich bin dann bald off. (10 min).
Morgen in der Früh wieder mit vollem Tank.
Danke für deine Hilfe. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
(i) y + z = 0
(ii) 3a - 2y + z = 0
-----------------------

(i) - (ii) = - 3a - y = 0; y = -3a
...

Das rot Markierte ist falsch.
Beim Subtrahieren wechselt doch das Vorzeichen!
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

verdammt, erst jetzt sehe ich es böse

Freude

g8
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist's also klar.
(1; 1; -1) sollte der Richtungsvektor der Geraden werden.

GN8!
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

1;1;1 oder?

Warum hat die z-koordinate bei dir ein negatives Vorzeichen?

lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie kommst du auf (1; 1; 1)?
Rechne nochmals nach!
Eine der Gleichungen lautet doch y + z = 0
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Freude

Es lag an meinem Vorzeichenfehler bei der Berechnung von meinem y-Wert, natürlich zieht dies einen Vorzeichenfehler bei der Berechnung des z-Wertes mit sich.

lg
Freude Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »




das LGS ist schon einsetzfähig. Man tut ich leichter , wenn man das z , das in beiden Gl. vorkommt zum Parameter erklärt:

Sei z= a

1.) y=-a ----> in 2.)

2.)3x +2a+a=0 ---> x=-a

x=-a
y=-a
z=a

oder


und: üben, üben... Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Lösen von LGS muss von mir geübt werden. smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

3x-2y-5z=0
x+y-2z=1
y+z=2
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
(i) 3x-2y-5z=0
(ii) x+y-2z=1
(iii) y+z=2


Hi,

Werde dafür noch Thread öffnen. (Habe es mir notiert).

(i) - (ii)*3 = -5y + z = -1 = (iiii)
-------------------------------------

(iii) - (iiii) = 6y = 3 daraus folgt y = 0,5

y in (iii) eingesetzt = 0,5 + z = 2 daraus folgt - z = 1,5

z + y in (ii) eingesetzt = x + 0,5 + 3 = 1 - daraus folgt x = 2,5

lg
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das musst du präziser machen:

Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Ich habe es tatsächlich geschafft alles falsch zu machen. verwirrt

Ich habe Rechenfehler drinnen, der Rechenweg ist einer von vielen richtigen.

-------------------------------------------------------

(i) - (ii)*3 = -5y + z = -3 = (iiii)
-------------------------------------

(iii) - (iiii) = -6y = -5 daraus folgt y = 5/6

y in (iii) eingesetzt = 5/6 + z = 2 daraus folgt z = 1,16667

z + y in (ii) eingesetzt = x + 5/6 - 2*1,667 = 1 daraus folgt x = 2,5

smile
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