Ordnung einer Permutation bestimmen

17.04.2013, 12:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung einer Permutation bestimmen Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne die Ordnung der folgenden Permutation bestimmen: $\begin{eqnarray} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 & 5& 6& 7& 8& 9 & 10 \\ 9 & 5 & 10 & 6& 7&2&4&3&1&8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich hab einfach jedes Element betrachtet: Es gilt dann: 1-1 nach 2 mal 2-2 nach 5 mal 3-3 nach 3 mal 4-4 nach 5 mal 5-5 nach 5 mal 6-6 nach 5 mal 7-7 nach 5 mal 8-8 nach 3 mal 9-9 nach 2 mal 10-10 nach 3 mal so ich dachte, dass dann wohl 30 die kleinste Anzahl an wiederholtem Anwenden von [/] \pi [/] ist bei der jede Zahl wieder auf sich selber abgebildet wird. Also habe ich die Ordnung 30. Meine Ideen: Passt das?? Danke!
17.04.2013, 13:32	JRWR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo steviehawk, Ja das passt. Die Ordnung einer Permutation lässt sich aus der Zyklendarstellung als kgV der Längen der disjunkten Zyklen bestimmen. Deine Permutation in Zyklendarstellung ist: $\begin{eqnarray} (1\;9)(2\;5\;7\;4\;6)(3\;10\;8) \end{eqnarray}$ Alle Zyklen sind disjunkt und man kommt mit 253 auf Ornung von 30.
17.04.2013, 19:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke!!! Ich muss noch mehr damit anstellen aber heute hab ich keine Zeit mehr.. oder doch Das Inverse von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist noch zu bestimmen, da bin ich jetzt mal ganz intuitiv vorgegangen, hab das noch nie gemacht. Hab dann: $\begin{eqnarray} \pi^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 & 5& 6& 7& 8& 9 & 10 \\ 9 & 6 & 8 & 7& 2&4&5&10&1&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zumindest gilt dann: $\begin{eqnarray} \pi^{-1} \circ \pi = id_{S_{10}} \end{eqnarray}$ Noch eine Frage, wenn man von Produkten von Zyklen spricht, ist dann die Komposition gemeint?

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