Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
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17.04.2013, 14:28 Sim0n. Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Hey,

als ich gerade versucht habe, die Abi-klausur von 2008 (Bremen) durch zu rechnen, kam ich bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Aufgabenstellung:
Zitat:
Medikament Einem menschlichen Körper wird z.B. durch eine Infusion kontinuierlich ein Medikament mit einer Dosierung von einem Milliliter pro Minute (ml/min) zugeführt. Das Medikament wird im Körper ebenfalls kontinuierlich abgebaut, und zwar so, dass pro Minute jeweils 5% des dann im Körper vorhandenen Medikaments abgebaut werden. In der Abbildung 1 des Materials wird der zeitliche Verlauf der Menge f(t) des im Körper vorhandenen Medikaments dargestellt, t in Minuten, f(t) in ml. Abbildung 2 des Materials zeigt die zugehörige momentane Änderungsrate f'(t) in ml/min.


Unteraufgabe:
Zitat:
b) Die Funktion f hat die Funktionsgleichung f(t) = 20 - 20*e^(-k*t) Berechnen Sie den Parameter k in f(t) so, dass nach 60 Minuten 19 ml vom Medikament im Körper vorhanden sind. Runden Sie den Wert k auf zwei Nachkommastellen.
Bestätigen Sie durch Ableiten von f die Gleichung f'(t)=e^(-0,05t).
Versehen Sie die Markierungsstriche an der f(t) - und der f'(t)-Achse in den Abbildungen mit geeigneten Werten. Berechnen Sie, wie viele ml des Medikamentes nach 90 Minuten im Körper sind. Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich 10 ml im Körper befinden.


Der dick gedruckte Teil ist die "Problemaufgabe".

Mein Ansatz:

f(t)=20-20*e^(-k*t)
10ml = f(t)
10=20-20*e^(-0,05t) |ln
ln(10)=ln(20)-ln(20)-0,05t |zsmfassen
2,30=0,05t |/0,05
46=t

Die Lösung ist allerdings

f(t)= 10 = 20-20*e^(-0,05t) führt zu t ≈13,86 in min.

Das heißt ich habe irgendwas falsch gemacht - nun frage ich mich, was?

Liegt es daran das der Koeffizient von e beim logarithmieren zusammen genommen werden muss? Heißt:
ln(-20*e^(-0,05t)) statt ln(20) ; ln (e^(-0,05))

Ich freue mich auf eure Antwort Freude
17.04.2013, 14:31 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Zitat:
Original von Sim0n.
10=20-20*e^(-0,05t) |ln
ln(10)=ln(20)-ln(20)-0,05t |zsmfassen

Hier liegt der Hase im Pfeffer. Einfach mal ne neue Logarithmusregel erfunden. unglücklich
17.04.2013, 14:41 Sim0n. Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte ich mir - nur wie mach ich es richtig?

Danke schon mal für die Antwort - echt flott! Freude
17.04.2013, 14:53 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Zitat:
Original von Sim0n.
10=20-20*e^(-0,05t) |ln

Stelle diese Gleichung so um, daß du den e-Funktionsausdruck auf einer Seite alleine hast. Dann läßt sich auch der ln anwenden. smile
17.04.2013, 14:59 Sim0n. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Top - das funktioniert! Freude
Vielen Dank dafür!

Das heißt, wenn man den natürlichen Logarithmus nimmt, muss der e-Funktionsausdruck immer ohne Koeffizient und anderen Zahlen auf einer Seite stehen?
17.04.2013, 15:23 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Das wäre zu empfehlen. Ein Vorfaktor vor dem e-Funktionsausdruck würde im Prinzip nicht stören, aber auch da sind natürlich die Logarithmusregeln zu beachten. Und bevor man da stolpert, sorgt man besser dafür, daß der e-Funktionsausdruck alleine steht. smile
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17.04.2013, 15:27 Sim0n. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Ah alles klar - hätte man jetzt 20*e^(-0,05) müsste man aber ln(20*e^(-0,05)) nehmen.. oder?

Kurze Frage, bin ja hier neu.. wenn ich jetzt ne Frage über Integrale habe - soll ich es hier reinquetschen, oder nen neuen Thread aufmachen? smile
17.04.2013, 15:59 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürlicher Logarithmus - Abituraufgabe 2008
Zitat:
Original von Sim0n.
Ah alles klar - hätte man jetzt 20*e^(-0,05) müsste man aber ln(20*e^(-0,05)) nehmen.. oder?

Ja. Und für eine neue Frage einen neuen Thread. smile
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