Ähnlichkeit von Matrizen

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MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit von Matrizen
Hallo Leute ich bin es schon wieder =D

Eigentlich leichte Aufgabe, die mich im 2. Aufgabenteil aber leicht verwirrt.

Aufgabe:
Sei ein Körper und seien

gegeben durch:



und



1. Wenn , sind und ähnlich?

2. Wenn sind und ähnlich?

Mein Ansatz:

1) Hier habe ich einfach gezeigt, dass das Minimalpolynom für und :



ist und da sie gleich sind sind die Matrizen auch ähnlich.
Ist das richtig?

2) Hier habe ich das Problem, dass ich diese Menge F nicht verstehe. Sind das alle Matrizen, die nur 0 und 1 als Zellen haben?
Aber dann können und doch gar nicht darin liegen.
Was verstehe ich hier falsch?

LG,
MCM
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeit von Matrizen
Hallo,

1) Stimmt. (Schreib den Satz dazu, warum das stimmt.)


2) Mit sind die Restklassen modulo 2 gemeint. Hilft dir das weiter?
Betrachte dann das Beispiel aus der Vorlesung.

Gruß
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen dank schon mal für den ersten Teil.

Ok danke, dann weiß ich zumindest, dass mein Ansatz nicht richtig ist für den 2. Teil.
Leider kann ich mir immer noch nicht so richtig vorstellen was das sein soll. Im Skript finde ich leider auch nichts dazu.

LG,
MCM
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es gilt -1=0 modulo 1 in \mathbb F_2.

Gruß
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry irgendwie will es gerade nicht in meinen Kopf. verwirrt

Ich würde momentan vom Bauch heraus sagen, die sind ähnlich aber wirklich begründen kann ich das immer noch nicht.
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Du befindest dich in nicht in .

Um eine nach zu "überführen", rechnet man und betrachtet den Rest. Also: modulo . Also ist gleich .

Diese Erklärung ist zwar mathematisch nicht ganz korrekt, aber so denkt man sich das.

Wie sehen deine Matrizen dann also aus?

Gruß
 
 
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Okay wenn ich das richtig verstanden habe sehen meine neuen Matrizen so aus:



und




Dann würde ich natürlich einen doppelten Eigenwert bei lambda = 1 haben.

Habe dann wieder die minimal Polynome bestimmt.

Die sind dann sowohl für A als auch B .

Das würde dann ja heißen sie sind gleich?!
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn Ähnlichkeit?

Setzt mal B in diese Definition ein.

Gruß
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja 2 Matrizen sind ähnlich, wenn es eine Matrix gibt,die invertiertbar ist und sodass:



oder



Wenn ich also sage, dass



und das in die zweite Gleichung einsetze erhalte ich:



Das würde ja nur gehen, wenn

Oder habe ich irgendwas nicht verstanden?


Edit: Ok die Nullmatrix ist ja nicht invertierbar.. Also gäbe es ja keine Matrix, die diese Bedingung erfüllt. Das würde dann dafür sprechen, dass die Matrizen nicht ähnlich sind.
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Also B ist doch die Einheitsmatrix.

Also gilt für jede Matrix M, die ähnlich zu B ist:


, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Können dann also A und B ähnlich sein?

Gruß
MadCookieMonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay alles klar!

Können sie natürlich nicht. =)

Vielen Dank für deine Hilfe!

LG,
MCM
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem smile

Wink
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