Differentialrechnung zwei Veränderlicher

17.04.2013, 17:31

Agent 47

Differentialrechnung zwei Veränderlicher

Einen schönen guten Abend wünsche ich.
Wir haben eine Funktion mit zwei Veränderlichen gegeben und sollen zeigen, dass f in (0,0) stetig ist. So sieht die Funktion f aus:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =>(x,y)\neq 0 \end{eqnarray*}$
und 0 sonst.
Und wir sollen dafür $\begin{eqnarray*} |\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} | \leq 1 \end{eqnarray*}$ verwenden.
Mir würde nur einfallen das mit der totalen Differenzierbarkeit zu zeigen indem der Grenzwert Null ergibt.
Allerdings weiß ich nicht wie mir da der Tipp mit dem Betrag weiterhelfen soll.
Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

17.04.2013, 19:25

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher

Zitat:

Original von Agent 47
Mir würde nur einfallen das mit der totalen Differenzierbarkeit zu zeigen indem der Grenzwert Null ergibt.

Die Abschätzung kannst du ganz elementar mit der Dreiecksungleichung zeigen.

Zitat:

Allerdings weiß ich nicht wie mir da der Tipp mit dem Betrag weiterhelfen soll.
Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Wenn du die Ungleichung bewiesen hast, erhältst du $\begin{eqnarray*} \lvert f(x,y)\rvert\leq\lvert xy\rvert \end{eqnarray*}$ .
Und was passiert, wenn du dann $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ gehen lässt?

17.04.2013, 20:56

Agent 47

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Hmm nein mir ist leider noch nicht klar wie ich auf die rechte Seite der Dreiecksungleichung komme.
Bzw. wieso das ein Beweis für Stetigkeit ist. Ich muss hier doch mit f(x,y) und f(0,0) arbeiten oder?

17.04.2013, 21:01

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Ja, zu zeigen ist nun, dass aus $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x,y)\to f(0,0) \end{eqnarray*}$ folgt.
Und da $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, reicht es dazu, $\begin{eqnarray*} \lvert f(x,y)\rvert\to0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Das kannst du zeigen, indem du $\begin{eqnarray*} \lvert f(x,y)\rvert \end{eqnarray*}$ nach oben durch etwas abschätzt, was für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.

17.04.2013, 21:12

Agent 47

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Aso das heißt indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} | xy | =0 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} | f(x,y) | \end{eqnarray*}$ sicher kleiner gleich ist,
hat man damit die Stetigkeit bewiesen. Habe ich das jetzt richtig verstanden?

17.04.2013, 21:15

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Ja, im Nullpunkt.
Aber versuch nochmal nachzuvollziehen, wieso das die Stetigkeit im Nullpunkt zeigt.

17.04.2013, 22:00

Agent 47

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Hmm im Prinzip ist das doch das Limeskriterium um die Stetigkeit zu zeigen oder? Aber ich glaube ganz komme ich gerade nicht dahinter.

18.04.2013, 07:28

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Womit hast du denn ein Problem?

18.04.2013, 08:53

Agent 47

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Ist das einfach das Folgenkriterium mit Abschätzung einer Majorante, oder bringe ich da jetzt etwas durcheinander?
Das mit dem Betrag hat mich etwas verwirrt um ehrlich zu sein.

18.04.2013, 19:30

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Wenn dich das mit dem Betrag stört:
Für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n\to a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ darüber definiert, dass $\begin{eqnarray*} \lvert a_n-a\rvert \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten Index beliebig klein wird.
Im Spezialfall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ wird also untersucht, ob $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird.
Um hier also $\begin{eqnarray*} f(x,y)\to0 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, zeigen wir $\begin{eqnarray*} \lvert f(x,y)\rvert\to0 \end{eqnarray*}$ .

Dazu geben wir eine Majorante an, die gegen Null konvergiert.

18.04.2013, 20:48

Agent 47

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Ah ok. Jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank!

21.04.2013, 12:54

Poweryoguhrt

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher

Zitat:

Original von Agent 47
Aso das heißt indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} | xy | =0 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} | f(x,y) | \end{eqnarray*}$ sicher kleiner gleich ist,
?

Und wie zeig ich analytisch, dass xy für $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht?

Grenzwerte aufteilen?

21.04.2013, 12:56

Che Netzer

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher
Entweder darüber, dass $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ genau dann gegen Null geht, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen (komponentenweise Grenzwertbildung) und $\begin{eqnarray*} \lim xy=\lim x\cdot\lim y \end{eqnarray*}$ oder wenn man es direkt haben möchte über $\begin{eqnarray*} xy\leq\frac{x^2+y^2}2 \end{eqnarray*}$ – falls diese Ungleichung bekannt sein sollte.

21.04.2013, 14:25

Poweryoguhrt

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RE: Differentialrechnung zwei Veränderlicher

Zitat:

Original von Che Netzer
Entweder darüber, dass $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ genau dann gegen Null geht, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen (komponentenweise Grenzwertbildung) und $\begin{eqnarray*} \lim xy=\lim x\cdot\lim y \end{eqnarray*}$ oder wenn man es direkt haben möchte über $\begin{eqnarray*} xy\leq\frac{x^2+y^2}2 \end{eqnarray*}$ – falls diese Ungleichung bekannt sein sollte.

Besten dank.

lg.

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