Befindet sich Punkt X,Y in Raute?

17.04.2013, 20:05	AlexanderK	Auf diesen Beitrag antworten »
Befindet sich Punkt X,Y in Raute? Guten Abend, ich beschäftige mich gerade mit Rhomben und komme an einem Punkt absolut garnicht weiter. Ich erstelle ein großes Raster von Rauten dass den ganzen Bildschirm umfasst. Daher ist die Anzahl der Rauten nicht festdefiniert sondern verändert sich mit der größe des Ausgabegeräts. Feststellen würde ich gerne ob sich der von User (mit der Maus) fixierte Punkt X,Y in der eben behandelten Raute befindet oder nicht. Jede Raute hat hat einen horizontalen Durchmesser von 64 und einen vertikalen Durchmesser von 32. Gibt es eine allgemeine Formel die mir ohne große Umwege sagen kann ob sich Punkt(X,Y) in der Raute befindet oder eben nicht? Die Eckpunkte einer jeden Raute sind bekannt. Gehe ich also davon aus ich hätte eine Raute von einer Höhe 32 und einer Breite von 64. Dann wäre Punkt(16,32) in der Raute, Punkt(64,64) allerdings nicht. Einen konkreten Rechnungsansatz habe ich leider nicht. Viele Grüße, Alexander
18.04.2013, 09:21	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Befindet sich Punkt X,Y in Raute? Herzlich willkommen im Matheboard! Nehmen wir mal eine Raute, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, und betrachten nur den ersten Quadranten: Dieser Abschnitt hat ja die Geradengleichung y=-0,5x+16. Die gilt also für alle Punkte auf* der Geraden. Somit gilt für alle Punkte unterhalb der Geraden die Gleichung y<=-0,5x+16. Auf diese Weise kannst Du für alle Punkte, deren x- und y-Koordinaten beide größer sind als der Mittelpunkt*, entscheiden, ob sie in der Raute liegen oder nicht. Durch Symmetrieüberlegungen kannst Du die drei anderen Kriterien formulieren. Anschließend musst Du das Ganze nur noch auf den allgemeinen Fall übertragen, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt. Viele Grüße Steffen
18.04.2013, 10:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Aufgabe gleich für Parallelogramme lösen (jede Raute ist ein Parallelogramm). In der Zeichnung sei $\begin{eqnarray} \vec{p} = \overrightarrow{AP} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{q} = \overrightarrow{AQ} \end{eqnarray}$ . Ist nun $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein weiterer Punkt, so läßt sich der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} = \overrightarrow{AX} \end{eqnarray}$ als Linearkombination bezüglich $\begin{eqnarray} \vec{p},\vec{q} \end{eqnarray}$ schreiben. Mit Skalaren $\begin{eqnarray} \lambda,\mu \end{eqnarray}$ hat man also $\begin{eqnarray} \vec{x} = \lambda \, \vec{p} + \mu \, \vec{q} \end{eqnarray}$ Und es gilt: $\begin{eqnarray} X \ \text{liegt im Innern des Parallelogramms} \ \ \Leftrightarrow \ \ 0 < \lambda, \mu < 1 \end{eqnarray}$ [attach]29656[/attach] Wenn die Koordinaten von $\begin{eqnarray} A,P,Q,X \end{eqnarray}$ bekannt sind, lassen sich die Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec{p},\vec{q},\vec{x} \end{eqnarray}$ durch Differenzbildung mit dem Ortsvektor von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bestimmen. Mit $\begin{eqnarray} \vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{q} = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat man somit das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu lösen. Formal bekommt man: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 & q_1 \\ p_2 & q_2 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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