Axiales Trägheitsmoment einer Kugelschale

17.04.2013, 21:23	Cookiemonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Axiales Trägheitsmoment einer Kugelschale Meine Frage: Mit K wird die Oberfläche der Kugelschale S: x^2+y^2+z^2=R^2 bezeichnet. Gesucht ist das axiale Trägheitsmoment T (Dichte ist homogene, Masse = m) um die z-Achse. Meine Ideen: Die Formel für das axiale Trägheitsmoment ist als Bild im Anhang. Mir fehlt nur der zündende Funke für das Problem...
17.04.2013, 21:53	komplexer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Trägheitsmoment ist definiert als $\begin{eqnarray} I=\int r^{2}\mathrm{d}m \end{eqnarray}$ was sich auch schreiben lässt als $\begin{eqnarray} I=\int\varrho r^{2}\mathrm{d}V \end{eqnarray}$ . Dabei ist r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse. Anhand einer Zeichung kannst Du dieses senkrechte r bestimmen, das gelingt am besten mit Kugelkoordinaten. Dann musst Du nur noch ein Volumenintegral ausführen.
18.04.2013, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da von keiner Kugel, sondern von einer Kugelschale die Rede ist, muss keine Volumenintegral, sondern ein Oberflächenintegral berechnet werden. Man kann sich z.B. vorstellen, dass auf eine Kugelfläche A eine dünne, homogene Farbschicht aufgetragen wurde, deren Trägheitsmoment man berechnen soll, also $\begin{eqnarray} T=\int \rho r^2\,\,dA=\rho \cdot \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} \underbrace{R^2 \sin^2(\theta)}_{r^2}\underbrace{R^2 \sin(\theta) \,\,d\theta d\phi}_{\text{Flächenelement dA der Kugel}}=\rho R^4 \cdot \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} \sin^3(\theta)\,\,d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Dabei ist r² das Abstandsquadrat von der z-Achse, wie es laut Definition des Trägheitsmomentes sein muss. Die Größe $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ bezeichnet die Flächendichte der Farbschicht in kg/m².

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