Symmetrische Gruppe triviales Zentrum

17.04.2013, 21:40	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe triviales Zentrum Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne zeigen, dass die symmetrische Gruppe ein triviales Zentrum besitzt. Ich hab dazu auch einen Beweis vorliegen, nur war mein Idee eine andere, deshalb zeige ich die mal und hoffe, dass das auch geht. Also das ganze gilt ja erstmal nur für Mengen mit $\begin{eqnarray} n \geq 3 \end{eqnarray}$ Elementen. So im Grunde gilt doch dann immer: $\begin{eqnarray} S_3 \subset S_4 \subset ... \subset S_n \end{eqnarray}$ Wenn also in $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ das Zentrum bereits trivial ist, also nur aus der Identität besteht, dann ja auch in $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ denn dort muss alles aus $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ ja immer noch kommutieren. Für $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ kann man es ja nachrechnen.. Meine Ideen: Würde die Idee als Beweis ausreichen?? Danke! Edit: Mir fällt jetzt auf, dass ja rein theoretisch in $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ ein Element dazu kommen könnte, dass nun mit denen aus $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ kommutiert, dieses Element wäre dann im Zentrum von $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ angenommen, es würde auch mit dem Rest in $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ kommutieren, also verläuft mein Argument wohl im Sand oder??
18.04.2013, 17:09	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Gruppe triviales Zentrum genau, wenn nur die 1 mit allen kommutiert, dann muss das in einer obergruppe nicht mehr gelten, da die einfach weitere elemente hat. lg

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