Komplexe Gleichung

17.04.2013, 23:37

Lumière

Komplexe Gleichung

Aufgabe:
Bestimme alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , die folgende Gleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}-Im(z)) \cdot (|Re(z)|-|z|) = 0 \end{eqnarray*}$

Wann die zweite Klammer 0 wird, ist mir denke ich klar, nämlich wenn $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Die erste Klammer macht mir etwas Schwierigkeiten. Schreibt man $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}-Im(z) = 0 <br /> \frac{z+\overline{z}}{|z|^2}-y = 0<br /> 2x = y(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Soweit ich das sehe, kann man diese Gleichung weder nach x noch nach y umstellen. Oder geht das doch? Wenn nein, wie kann ich dann die z angeben, die das lösen?

18.04.2013, 00:13

Lampe16

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RE: Komplexe Gleichung

Zitat:

Original von Lumière

Soweit ich das sehe, kann man diese Gleichung weder nach x noch nach y umstellen. Oder geht das doch?

Für $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ kannst mit der p-q-Formel nach x auflösen. Außerdem ist x=y=0 eine Lösung.

18.04.2013, 00:31

Lumière

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Ahja, stimmt.

Hab das mal aufgelöst, ich erhalte $\begin{eqnarray*} x=\frac{1+-\sqrt{1-y^4}}{y} \end{eqnarray*}$

Die Menge der Nullstellen der ersten Klammer aus der Aufgabenstellung wäre also:
$\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb{C}: z=x+iy, y \in [-1,1], y\neq{0}, x=\frac{1+-\sqrt{1-y^4}}{y}\} \end{eqnarray*}$

Richtig?

18.04.2013, 21:14

Lampe16

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Zitat:

Original von Lumière
Richtig?

Ja. Der (triviale) Fall y=0 kommt noch dazu, s.o..

18.04.2013, 22:02

Lumière

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Ja, allerdings ist wenn x=y=0 ist z=0 und das kann denke ich keine Lösung sein, da ja durch z geteilt wird.

Danke für die Hilfe! smile

18.04.2013, 22:14

Lampe16

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Zitat:

Original von Lumière

Die Menge der Nullstellen der ersten Klammer aus der Aufgabenstellung wäre also:
$\begin{eqnarray*} \{z \in \mathbb{C}: z=x+iy, y \in [-1,1], y\neq{0}, x=\frac{1+-\sqrt{1-y^4}}{y}\} \end{eqnarray*}$

Darauf hatte ich mich bezogen.

Freut mich, dir geholfen zu haben.

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