Gruppe ?

18.04.2013, 00:43

Amplitude

Gruppe ?

Ich muss zeigen, dass folgende Teilmengen der Mengen Gruppen (Nur ganze Zahlen) darstellen bezüglich nur der Multiplikation:

1. Menge der geraden Zahlen - (...... -8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8....)

- Keine Grp, da kein neutrales ele. da ist

2. Menge Z ohne Null

- mal assoziativ in Z
- 1 ist neu. ele.
- Invers weis ich nicht wirklich, da ich nicht wirklich weiss wie man das genau prüfen soll?

3. Menge (1)
- hat kein inverses, da eine inverse glaube eine gegenüberstelende zahl sein muss oder?, deshalb keine grp

4. menge (-1,1)

assoziativ, neutral. ele. und es gibt eine inverse zu 1, nämlich -1 also grp

kann mir jemand bezüglich meiner Fragezeichen bitte helfen.

18.04.2013, 01:04

mYthos

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1. und 4. sind richtig; (4. ist sogar kommutativ)

2.
Inverse Elemente nicht verfügbar, denn das wären Brüche.
Es genügt bereits ein Gegenbeispiel: 5 o 5' = 1 -> 5' = 1/5

3.
{1} hat alle 5 Gruppeneigenschaften (so wie 4.)
ist genüber der Multiplikation abgeschlossen, assoziativ,
1 ist n und von sich selbst auch das Inverse Element [1 o 1 = 1]
und es gilt sogar das Kommutativgesetz
--> Abel'sche Gruppe

mY+

18.04.2013, 01:05

Mulder

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RE: Gruppe ?
In die Algebra verschoben.

Zu 1): Richtig, es fehlt die 1 als neutrales Element.

Zu 2): Naja, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2k \cdot x = 1 \end{eqnarray*}$

ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht lösbar.

Zu 3):

Warum sollte die 1 kein Inverses haben? Die 1 ist selbstinvers.

Zu 4):

Ja, das ist eine Gruppe. Das ist die sogenannte Einheitengruppe des Ringes $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+, \cdot ) \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 01:07

Amplitude

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Kannst du mir bitte sagen was mit der Inversen hier gemeint ist ? Ich weiss, das bei Matrizen Inversen Umtausch der Elemente darstellt, doch was ist das hier?^^ Ich habe mir bereits den Wikiartikel und ein paar andere Artikel angeschaut, dort werden aber z.B. bei der AAddition zwei Zahlen miteinander addiert, was wzusammen 0 ergibt. Wie ist das bei der Multiplikation ?

18.04.2013, 01:46

Mulder

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Zitat:

Original von Amplitude
Ich habe mir bereits den Wikiartikel und ein paar andere Artikel angeschaut, dort werden aber z.B. bei der AAddition zwei Zahlen miteinander addiert, was wzusammen 0 ergibt. Wie ist das bei der Multiplikation ?

Am besten Gruppendefinition nochmal nachlesen. Ist eigentlich immer das gleiche Schema. Da musst du auch gar nicht auf Matrizen schielen, das sind schon wieder Spezialfälle.

Ja, bei der Addition ist das Inverse zu einem Element $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} (-a) \end{eqnarray*}$ ,da $\begin{eqnarray*} a+(-a)=(-a)+a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (also das Nullelement) ist das neutrale Element bezüglich der Addition. Bei der Multiplikation ist das neutrale Element eben die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ (bzw. das Einselement) und zu einem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist das Inverse eben $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \end{eqnarray*}$ . So ist jedenfalls die gängige Notation.

Bei deiner Menge 3) hast du nur die 1 und diese ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Und die 1 hat damit eben auch ein Inverses, da $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1 = 1^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das meine ich mit "selbstinvers", die 1 ist gleichzeitig auch ihr eigenes Inverses bezüglich der Multiplikation.

Im Falle der Addition ist eben die 0 "selbsinvers" wegen $\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$ .

Ist ein bisschen abstrakter Kram, aber es lohnt sich m.E., das zu verinnerlichen und sich darauf einzulassen in der Gruppentheorie...

(der Einfachheit halber jetzt mal keine Enschränkungen auf linksinvers oder rechtsinvers, sondern einfach mal ausgehend von der Existenz eines neutralen Elementes).

18.04.2013, 01:56

Amplitude

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Danke ich habe es wirklich verstanden! Vielen vielen dank!

Ich habe hier noch eine letzte Frage bezüglich einer anderen Aufgabe, es geht um Restklassen. Möchte ungern wieder einen Thread öffnen. Aufgabe lautet: Rechne die folgenden acht Restklassen (Gebe das Ergebnis immer in der From 0 kleiner gleich k kleiner gleich p-1)

Eine davon ist z.B (5)mod7 + (6)mod7, darf ich nun das einfach zusammenrechnen und mit (11)mod7 weiterrechnen ? Daraus folgt nur noch (7+4)mod7 und daraus halt (4)mod7.

Ist das richtig so? Oder der Zwischenschritt ist falsch, denn man soll ihn nicht aufschreiben (Also (7+4)mod7)?

18.04.2013, 21:45

mYthos

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Da die neue Frage ein anderes Thema betrifft, solltest du einen neuen Thread eröffnen.
Hier antworte ich dir noch, aber bitte für weitere *NEUE* Fragen bitte auch einen neuen Thread eröffnen!

Die Schreibweise 5(mod7) + 6(mod7) = 11(mod7) = 4(mod7) ist so zulässig und auch für die Rechnung sinnvoll.

mY+

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