Wurzelfunktion DGL

18.04.2013, 09:21

Mathemaja

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Wurzelfunktion DGL

Meine Frage:
Hello @ll. Muss alle Lösungen des Anfangwertproblems

$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{|y|} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Ich trenne erstmal die Variablen $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\sqrt{|y|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{|y|}}dy=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|y|}}dy=\int dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{|y|}=x+c \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man quadrieren aber dann bekommen wir rechts eine Binomische Formel unglücklich

unglücklich

? Lösung steht ja weit verbreitet im Internet ist ja $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x^2 +c \end{eqnarray*}$ Nur wie kommt man darauf. Es reicht ja nicht nur die allgemeine Lösung hinzuschreiben, da wir ja $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ bestimmen müssen?

18.04.2013, 10:04

Ehos

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Die Dgl. kann man auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \tfrac{y'}{2\sqrt{|y|}}=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Integration auf beiden Seiten ergibt $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}=\tfrac{x+c}{2} \end{eqnarray*}$ . Quadrieren ergibt

$\begin{eqnarray*} y(x)=\tfrac{(x+c)^2}{4} \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 10:11

Mathemaja

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Wie kommst du auf?

$\begin{eqnarray*} \tfrac{y'}{2\sqrt{|y|}}=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich wäre sehr interessiert die Fallunterscheidung zu machen und diese schnell über die Bühne zu bringen. Es gibt ja zwei Fälle, oder? $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ?

18.04.2013, 10:22

HAB

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Nur ein Hinweis.
Du musst nicht y(0)=0 bestimmen, sondern du musst diese Vorgabe nutzen um c zu bestimmen.
Zudem solltest du die bin Formel auch anwenden, dann siehst du, dass du mit Ehos ziemlich übereinstimmst.

18.04.2013, 10:26

Mathemaja

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RE: Wurzelfunktion DGL
Oki, dann mache ich das mal.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\sqrt{|y|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{|y|}}dy=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{|y|}}dy=\int dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{|y|}=x+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^2\ |y|=(x+c)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 |y|=x^2+2xc+c^2 \end{eqnarray*}$

Sehe es nicht so wie das zu der Überstimmung mit Ehos führen soll mhm.

18.04.2013, 10:29

HAB

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RE: Wurzelfunktion DGL
Dividiere deine Gleichun mal durch 4 und multipliziere die von Etos aus.

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18.04.2013, 10:39

Mathemaja

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RE: Wurzelfunktion DGL
$\begin{eqnarray*} |y|=\frac{x^2+2xc+c^2}{4} \end{eqnarray*}$

Was soll man denn jetzt ausmultiplizieren noch?

18.04.2013, 10:43

HAB

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RE: Wurzelfunktion DGL
du solltest die von Ehos ausmultiplizieren!!!
Und denk dabei wieder an die bin Formeln.

18.04.2013, 13:40

Mathemaja

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Ja stimmt dann bekomme ich das von Ehos sry Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} y=\frac{(x+c)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Anfangsbedingung ausnutze erhalte ich ja

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{(0+c)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{c^2}{4} \end{eqnarray*}$

Und wie bekomme ich das c heraus? Und was ist mit der Fallunterscheidung, wie mache ich das jetzt?

18.04.2013, 14:13

HAB

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Multipliziert man mit 4, so erhält man
$\begin{eqnarray*} c^{2} =0 \end{eqnarray*}$ .
Was folgt hierraus für c?

18.04.2013, 14:18

Mathemaja

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$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ Und die Fallunterscheidung?

18.04.2013, 15:02

HAB

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Die erübrigt sich.

18.04.2013, 16:17

Leopold

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Die angebliche Lösung des Anfangswertproblems ist gar keine. Dagegen sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g,h,o \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} x^2 & \text{falls} \ x \geq 0 \\ -\frac{1}{4} x^2& \text{falls} \ x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} x^2 & \text{falls} \ x \geq 0 \\ 0 & \text{falls} \ x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls} \ x \geq 0 \\ - \frac{1}{4} x^2 & \text{falls} \ x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Lösungen. Und das sind noch nicht einmal alle. Es gibt nämlich unendlich viele weitere.

Da muß wohl irgendwo ein Fehler passiert sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2013, 19:32

HAL 9000

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Ein andere DGL, aber vom Prinzip her dasselbe Phänomen: Anfangswertproblem eindeutig lösbar

18.04.2013, 20:01

HAB

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Zitat:

Es gibt nämlich unendlich viele weitere.

Wie sollten denn die aussehen, (wenn sie auf ganz R diff-bar sein sollen)?

18.04.2013, 20:07

HAL 9000

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Da Leopold gerade offline ist, nenne ich mal exemplarisch eine weitere Lösung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} (x-2)^2 & \;\mbox{für}\, x>2 \\ 0 & \;\mbox{für}\, -1\leq x\leq 2 \\ -\frac{1}{4} (x+1)^2 & \;\mbox{für}\, x<-1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Differenzierbarkeitsbedingung ist durchaus auch an den Stellen -1 und 2 erfüllt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2013, 20:13

HAB

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Danke, das leuchtet ein!
Aber wo gingen diese Lösungen auf den Weg verloren?

18.04.2013, 20:19

HAL 9000

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Betrachten wir zunächst diese DGL mit der (anderen) Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Bereits mit der Division durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{|y|} \end{eqnarray*}$ gelten dann alle folgenden Überlegungen nur lokal in einem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wo immer noch $\begin{eqnarray*} y(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Das "Auftreffen" auf die Nullstelle zwingt dann, die Sache zu überdenken, u.a. auch zum Original zurückzukehren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist dagegen $\begin{eqnarray*} y(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ , so bestehen (links wie rechts) zwei Möglichkeiten: Entweder bleibt die Funktion erstmal weiter beim Wert 0 stehen, oder der entsprechende Parabelast fängt an. Ist letzteres der Fall, dann ist die Funktion von da ab eindeutig bestimmt. Die Positionen aber, wo diese Parabeläste beginnen, sind frei wählbar (evtl. auch nie).

18.04.2013, 20:28

Leopold

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Daß die von Ehos angegebene Funktion nicht Lösung sein kann, sieht man der Differentialgleichung unmittelbar an. Der linke Ast von Ehos' Parabel hat negative Steigung. Die Differentialgleichung aber sagt: $\begin{eqnarray*} y' = \sqrt{|y|} \geq 0 \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 20:28

HAB

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Danke

Jetzt bin ich schlauer.

19.04.2013, 09:46

Huggy

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Es mag nützlich sein, sich aufgrund dieses Beispiels etwas allgemeiner über singuläre Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu informieren und wie sich aus diesen (es kann auch mehrere singuläre Lösungen geben) und der allgemeinen Lösung weitere Lösungen gewinnen lassen. Siehe z. B.

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl1.pdf

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