Grenzwert und Konvergenz

18.04.2013, 10:05

Lorenzonti

Grenzwert und Konvergenz

Hallo,

Es geht um folgende Aufgabe, zu der ich etwas Hilfe benötige:

1. Bestimmen Sie für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den Grenzwert
2. Bestimmen Sie für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} e > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(e) \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a | < e \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge N(e) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e = \frac{ 1}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2 + n + 3}{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

1.)
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2 + n + 3}{n^2 + 1} = \frac{n^2 * (1 + 1/n + 3/n^2 ) }{n^2 * (1 + 1/n^2 ) } = \frac{1+ 1/n + 3/n^2 }{1+ 1/n^2 } \end{eqnarray*}$

Mit der Regel über die Summe konvergenter Folgen berechne ich dann den Limes der Summanden des Zählers und Nenners erst einmal separat [...] und erhalte:

Grenzwert = 1.

2.)
$\begin{eqnarray*} |a_n - 1| = | \frac{n + 2 }{n^2 + 1} | \end{eqnarray*}$

Was mache ich nun?

18.04.2013, 10:15

HAB

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RE: Grenzwert und Konvergenz
Die Betrags striche auf der rechten Seite sind überflüssig.
Sodann würde zunächst mal die beiden Spezialfälle
- alles innerhalb der linken Betragsstriche ist positiv
- alles innerhalb der linken Betragsstriche ist negativ
untersuchen.
Der allgemeine Fall ergibt sich dann.

18.04.2013, 11:26

Lorenzonti

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RE: Grenzwert und Konvergenz

Zitat:

Original von HAB
Die Betrags striche auf der rechten Seite sind überflüssig.
Sodann würde zunächst mal die beiden Spezialfälle
- alles innerhalb der linken Betragsstriche ist positiv
- alles innerhalb der linken Betragsstriche ist negativ
untersuchen.
Der allgemeine Fall ergibt sich dann.

Hallo,

ausgehend davon:
$\begin{eqnarray*} |a_n - 1| \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} a_n - 1 < 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a_n < 0 \end{eqnarray*}$
was nicht der Fall ist, da die Folge bei n=1 beginnt (und zwar bei einem Wert größer 0) und monoton fällt bis zur Grenze von 1.

ist $\begin{eqnarray*} a_n - 1 \ge 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a_n \ge 1 \end{eqnarray*}$
was für alle n erfüllt ist.

Heißt das dann:

$\begin{eqnarray*} \forall n \ge 1 \end{eqnarray*}$ ist die Folge a_n größer als 1.
und da ich in der Aufgabenstellung stehen habe
$\begin{eqnarray*} n \ge N(e) \end{eqnarray*}$ muss also N(e) = 1 sein?

D.h. N(e) = N(1/100) = 100?

18.04.2013, 11:36

HAB

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RE: Grenzwert und Konvergenz
$\begin{eqnarray*} a_{n} -1 \end{eqnarray*}$ kann auch für positive $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ negativ sein.
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ muss nur kleiner als 1 sein.

Der Fall, dass der Inhalt der linken Betragsstriche für alle $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ negativ ist führt dann zur Rekursionsformel
$\begin{eqnarray*} -a_{n} +1=\frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} a_{n} =1-\frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 11:51

Lorenzonti

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RE: Grenzwert und Konvergenz

Zitat:

Original von HAB
$\begin{eqnarray*} a_{n} -1 \end{eqnarray*}$ kann auch für positive $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ negativ sein.
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ muss nur kleiner als 1 sein.

Der Fall, dass der Inhalt der linken Betragsstriche für alle $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ negativ ist führt dann zur Rekursionsformel
$\begin{eqnarray*} -a_{n} +1=\frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} a_{n} =1-\frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

Hallo,

ich muss ganz ehrlich zugeben, dass ich nicht verstehe, wie ich damit dann das geforderte N in Abhängigkeit von e < 0 angeben kann / muss.

18.04.2013, 12:18

HAB

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RE: Grenzwert und Konvergenz
Ich gehe davon aus dass a der Grenzwert der Folge ist.

Dann erkennst Du, dass sich das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

nur um $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ von diesem Grenzwert unterscheidet.

18.04.2013, 13:02

Lorenzonti

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RE: Grenzwert und Konvergenz

Zitat:

Original von HAB
Ich gehe davon aus dass a der Grenzwert der Folge ist.

Dann erkennst Du, dass sich das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

nur um $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ von diesem Grenzwert unterscheidet.

Soweit verstanden smile

Nur noch nicht, wie das N lautet bzw. N(e).

18.04.2013, 13:11

HAB

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RE: Grenzwert und Konvergenz
d.h. Wie groß muss n mindestens sein, damit $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ kleiner als Epsilon ist.

19.04.2013, 18:18

Lorenzonti

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Hallo,

ich komme auf ein $\begin{eqnarray*} n \ge N(e) = 102 \end{eqnarray*}$

Allerdings mehr oder weniger durch Rumprobieren, was mich nicht zufriedenstellt (außer es geht nicht anders). Bzw. Betrachtung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^2 + 1} < \frac{1}{100} => n^2 - 100n > 199 \end{eqnarray*}$
und dadurch muss erstmal auf der linken Seite was positives stehen; und das geht vermutlich erstmal nur, wenn n^2 einen Faktor größer als 100 besitzt, da "100*n" sonst schon größer ist als "n*n" mit n < 100. Und ab dann habe ich eben 101, 102, ... eingesetzt.

verwirrt

19.04.2013, 18:49

Mathesüchtiger

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Schätze mal

nach oben ab:

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n^2+1} <.....< Epsilon \end{eqnarray*}$

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