Extremwerte

18.04.2013, 10:45

maatsch

Extremwerte

Hallo wieder mal eine Frage...

y = x * ln(x)

erste Ableitung: y'= ln(x) + 1

beim Extremwert muss ich y' 0 setzten

daher: 0 = ln(x) + 1

Mein Problem.. wie bekomme ich x=...
bzw das ln(x) verwirrt mich total!

Danke!

18.04.2013, 10:52

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal solltest du auf beiden Seiten der Gleichung 1 subtrahieren, also $\begin{eqnarray*} \ln(x)=-1. \end{eqnarray*}$ Jetzt musst du noch wissen, dass $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ ist. Kommst du jetzt auf die Lösung?

18.04.2013, 10:57

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein,.. das ln und e^... verwirrt mich alles total unglücklich

18.04.2013, 11:02

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, noch ein Tipp. Die Gleichung lautet ja $\begin{eqnarray*} \ln(x)=-1. \end{eqnarray*}$ Jetzt kann man auf beiden Seiten e^(den Term) rechnen, die Gleichung stimmt dann immer noch. Also: $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=e^{-1}. \end{eqnarray*}$ Jetzt solltest du aber kein Problem mehr haben, x rauszukriegen.

18.04.2013, 11:12

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x=e^{-1} \end{eqnarray*}$

weil du geschrieben hast $\begin{eqnarray*} x = e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

ist das eine Regel? oder wie berechnet sich das?
sry die dumme Frage, aber wenn für mich etwas nicht logisch erscheint, tu ich mir extrem schwer beim lernen/merken..

danke!

18.04.2013, 11:22

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maatsch
sry die dumme Frage, aber wenn für mich etwas nicht logisch erscheint, tu ich mir extrem schwer beim lernen/merken

Kein Problem. Wie würde mein früherer Mathelehrer jetzt sagen? "Dumme Fragen gibt es nicht. Nur dumme Antworten." Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x=e^{-1} \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ gilt für jede beliebige Zahl größer 0. Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Wenn man $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ berechnet, wendet man erst den natürlichen Logarithmus auf x an, und auf das Ergebnis dann die e-Funktion. Da das Umkehrfunktionen sind, kommt man dann wieder auf die ursprüngliche Zahl x. Die Reihenfolge ist dabei übrigens egal. Also ist auch $\begin{eqnarray*} \ln\left(e^x\right)=x. \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 12:33

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$ kürzen sich dann gegenseitig weg, kann man das so sagen?

danke für deine hilfe.. aber jetzt steh ich schon wieder an

ich weiß das mein $\begin{eqnarray*} x=e^{-1} \end{eqnarray*}$

wenn ich es jetzt in die funktion y = ... einsetzte bekomm ich meinen y-Wert

$\begin{eqnarray*} y = x * ln(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = e^{-1} * ln(e^{-1}) \end{eqnarray*}$

da wie oben geschrieben sich das vl wegkürzt bleibt mir über

$\begin{eqnarray*} y=e^{-1} \end{eqnarray*}$

kann mann das so sagen?

18.04.2013, 12:40

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Vielleicht solltest du dir die Logarithmengesetze nochmal angucken.

Eines dieser Gesetze lautet: $\begin{eqnarray*} ln(x^a)=a\cdot ln(x). \end{eqnarray*}$ Also ist $\begin{eqnarray*} \ln(e^{-1}) \end{eqnarray*}$ nicht 1, sondern ... ?

18.04.2013, 13:05

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt, da klingelt wieder was Augenzwinkern

hab noch ein beispiel und zwar
0-Stelle von $\begin{eqnarray*} y=4*e^{-\frac{x^2}{8}} \end{eqnarray*}$

wieder dieses $\begin{eqnarray*} e^{...} \end{eqnarray*}$

unglücklich

18.04.2013, 13:22

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} 0=4\cdot e^{-\frac{x^2}{8}}. \end{eqnarray*}$ Das auf der rechten Seite ist ein Produkt. Und ein Produkt wird 0, wenn ... ?

18.04.2013, 13:28

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Produkt wird 0 wenn der Faktor 0 ist..

dann bleibt mir noch das e^ über
wie bekomme ich das x raus? oder denk ich komplett falsch

ln und e^bringen mich zum verzweifeln unglücklich

edit: text

18.04.2013, 13:29

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maatsch
Ein Produkt wird 0 wenn der Faktor 0 ist..

Richtig.

Guck dir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ an, wo/ob die Nullstellen hat.

18.04.2013, 13:31

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist die nullstelle 0

18.04.2013, 13:33

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maatsch
bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist die nullstelle 0

Was??? Woher hast du das denn? verwirrt

Ist jedenfalls falsch. $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ ist nämlich 1, und nicht 0.

18.04.2013, 13:34

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

ln(4) = x^2/8 ???

stimmt das dann so?

18.04.2013, 13:36

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, stimmt nicht.
Nochmal: Hat die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ Nulstellen? Wenn ja, wo?

18.04.2013, 13:40

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Nein, stimmt nicht.
Nochmal: Hat die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ Nulstellen? Wenn ja, wo?

dann gibt es hier keine 0-Stelle?

18.04.2013, 13:47

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Und oben hast du ja gesagt, dass einer der Faktoren 0 sein muss. Du hast also $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x^2}{8}}=0. \end{eqnarray*}$ Und jetzt überleg mal, ob es dafür eine Lösung gibt (Denk dran: $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen).

18.04.2013, 13:52

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

dann gibt es bei dieser funktion auch keine nullstellen
da 0=4*0, stimmts?

18.04.2013, 14:01

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maatsch
dann gibt es bei dieser funktion auch keine nullstellen
da 0=4*0, stimmts?

Richtig, es gibt keine Nullstellen. Aber deine Begründung verstehe ich nicht ganz. Ich versuch's mal, zu begründen:
Da $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen hat, gibt es keine Zahl, die man für x einsetzen kann, sodass $\begin{eqnarray*} e^x=0 \end{eqnarray*}$ ist. Also kann auch $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x^2}{8}} \end{eqnarray*}$ nicht 0 werden. Und weil dann kein Faktor von $\begin{eqnarray*} y=4\cdot e^{-\frac{x^2}{8}} \end{eqnarray*}$ 0 werden kann, wird auch das Produkt nicht 0. Damit hat die Funktion keine Nullstellen.

18.04.2013, 14:15

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

okey, jetzt ist es so halbwegs klar
das heißt wenn ich eine funktion mit e^... habe
ist e^... immer automatisch 0 ?

danke für deine geduld Gott

18.04.2013, 14:18

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt suche ich auch noch den schnittpunkt mit der y-achse

daher:

$\begin{eqnarray*} -4=e^{-\frac{x^2}{8}} \end{eqnarray*}$

wird da jetzt e^... automatisch 0?

daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?

18.04.2013, 14:25

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maatsch
okey, jetzt ist es so halbwegs klar
das heißt wenn ich eine funktion mit e^... habe
ist e^... immer automatisch 0 ?

Nein. e^(irgendwas) kann ja eben nicht 0 sein.
Vielleicht hast du dich nur falsch ausgedrückt und meintest folgendes: Man muss e^(irgendwas) gleich 0 setzen.

Aber es gibt auch andere Funktionen, z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)\cdot e^x. \end{eqnarray*}$ Wenn man die Nullstellen berechnen will, muss man jeden Faktor einzeln 0 setzen. Also:
$\begin{eqnarray*} x-2=0 \rightarrow \text{Erste Lösung x=2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x=0 \rightarrow \text{Keine Lösung} \end{eqnarray*}$

Also gibt es nur eine Nullstelle bei x=2.

Zitat:

Original von maatsch
jetzt suche ich auch noch den schnittpunkt mit der y-achse

daher:

$\begin{eqnarray*} -4=e^{-\frac{x^2}{8}} \end{eqnarray*}$

wird da jetzt e^... automatisch 0?

daher gibt es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?

Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann man viel einfacher berechnen. Überleg mal, wie groß x dann sein muss.

Wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} -4=e^{-\frac{x^2}{8}}? \end{eqnarray*}$

18.04.2013, 14:31

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, hab mich falsch augedrückt..

das 2. beispiel, da kenn ich mich aus also mit dem x=2

ups ich hab y 0 gesetzt und nicht x...

nochmal:

$\begin{eqnarray*} y=4*e^{-\frac{0^2}{8}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=4*1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=4 \end{eqnarray*}$

jetzt richtig?

18.04.2013, 14:33

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Funktion geht bei y=4 durch die y-Achse.

18.04.2013, 14:50

maatsch

Auf diesen Beitrag antworten »

danke danke danke

mit mehr fragen nerv ich heute bestimmt nicht mehr Wink