Lagebeziehung Gerade - Gerade

18.04.2013, 11:30

gucksi

Lagebeziehung Gerade - Gerade

Hallo

Wenn ich zwei Geraden gegeben hab und ich ermittelt will, wie die Lagebeziehung zwischen Ihnen ist.. Ist das dann so richtig?

Geg.: $\begin{eqnarray*} g_{1}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{2}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ 13 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. RV linear?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = k $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{5}{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ --> RV sind linear unabhängig was bedeutet, dass sie sich entweder schneider oder windschief sind....

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 8\\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es so weiter gehen, dass soweit ich weiss, 3 Gleichungen aufstellen muss
1.) 6 = 3k + 2l
2.) 8 = 4k + 3l
3.) 10 = 5k + 4l

Ist das bis hier hin soweit richtig ? Wenn ja... Gibts es an dieser Stelle vielleicht noch ne andere Möglichkeit, anstatt 3 Gleichungen aufzustellen? Wäre hier vllt wieder das Stichwort Determinante richtig verwirrt

18.04.2013, 15:17

Dopap

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RE: Lagebeziehung Gerade - Gerade

Zitat:

Original von gucksi
Jetzt müsste es so weiter gehen, dass soweit ich weiss, 3 Gleichungen aufstellen muss
1.) 6 = 3k + 2l
2.) 8 = 4k + 3l
3.) 10 = 5k + 4l

nicht irgendwas auswendig lernen. Man setzt zum Schneiden die Geradengleichungen gleich.
Daraus ergibt sich:

1.) 6 = 3r - 2s
2.) 8 = 4r - 3s
3.) 10 = 5r - 4s

Dein System würde genügen um zu entscheiden, ob windschief oder Schnittpunkt.
Mein System mit dem richtigen Vorzeichen und den richtigen Namen der Parameter lässt im Falle der Lösbarkeit auch die Berechnung des Schnittpunktes zu.

Bei diesem überbestimmten LGS sehe ich keinen Einsatz für eine Determinante.

18.04.2013, 17:41

gucksi

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RE: Lagebeziehung Gerade - Gerade
Ich versteh jetzt nicht warum du vor den drei Zahlen jeweils ein Minus hingeschrieben hast?

Wenn ich mir die Gerade angucke steht in dem RV der 2. Geraden kein Minus vor irgendeiner dieser 3 Zahlen....

1.) 6 = 3r - 2s
2.) 8 = 4r - 3s
3.) 10 = 5r - 4s

Meine Frage war, ob es vielleicht ein Alternative gäbe, diese Aufgabe nicht durch gleichsetzen zu lösen.

18.04.2013, 17:55

Dopap

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die beiden Richtungsvektoren stehen auf verschiedenen Seiten der Gleichung, und da muss eine ein Minus bekommen wenn beide auf derselben Seite stehen sollen.

$\begin{eqnarray*} \vec a +r \vec u = \vec b +s\vec v \quad \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec a - \vec b =s\vec v - r \vec u \end{eqnarray*}$

Korrektur: wenn die Determinante des LGS Null ist, dann ist das LGS lösbar.
Zur Berechnung des Schnittpunktes genügt das aber nicht.

18.04.2013, 18:22

gucksi

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mmhhh...ok...ich hab das jetzt mal so korrigiert, wie du es mir gesagt hast..

Guck dir mal bitte kurz diese Seite aus der ich die Aufgabe hab..Da ist nämlich ein plus davor...
http://www.mathesite.de/pdf/lgbe.pdf Das betrifft die Gerade g4

Danke

18.04.2013, 18:37

Dopap

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ja, das Minus kann man nicht schreiben, wenn man gleichzeitig die Koordinaten negiert.

spätestens beim LGS ist dann alles wieder beim alten.

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Lagebeziehung Gerade - Gerade

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