Homomorphismus, Hauptidealring -> Integritätsbereich

18.04.2013, 09:51	Schreckschraube	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus, Hauptidealring -> Integritätsbereich Hallo, ich hänge völlig in der Luft bei folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring, $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Integritätsbereich und $\begin{eqnarray} \varphi:R\to S \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist injektiv oder Bild $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist ein Körper. Mein Ansatz wäre, dass der Kern $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein Ideal von R ist. Ist R nun Körper, besitzt R nur das Nullideal oder den gesamten Körper als Ideal. Ist nun Kern $\begin{eqnarray} \varphi=0 \end{eqnarray}$ folg ja schon die Injektivität....aber da hört´s dann auch schon auf. Ich merke generell, dass ich von den Begriffen Hauptidealring, Integritätsbereich ein noch recht schwammiges Verständiss habe. Kann man R als Körper betrachten? Wenn ja warum genau? Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte
18.04.2013, 15:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Entscheidend ist die Tatsache, dass der Kern von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein Primideal ist. (Warum?) Und in einem Hauptidealring gibt es nur 2 Sorten von Primidealen. 1. Das Null-Ideal 2. Die maximalen Ideale Die beiden Fälle korrespondieren mit den beiden Fällen " $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv" und " $\begin{eqnarray} \varphi(R) \end{eqnarray}$ Körper". (Wenn der Hauptidealring sogar ein Körper ist, fallen die beiden Fälle zusammen, daher ist das oder nicht ausschließend gemeint)
19.04.2013, 05:56	Schreckschraube	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Kern von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist ein Primideal, denn für $\begin{eqnarray} x,y\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} xy\in \end{eqnarray}$ Kern von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \varphi(xy)= \varphi(x) \varphi(y) = 0 \Rightarrow \varphi(x) = 0\vee\varphi(y)=0 \end{eqnarray}$ wodurch entweder x oder y im Kern liegt, also dieser ein Primideal ist. Bei Wiki habe ich gerade gefunden, dass das Bild eines Ringhomomorphismus genau dann ein Körper ist, wenn dessen Kern maximal ist. Vielen Dank!

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