Grenzwert von Folgen

18.04.2013, 17:42

AndrewT12

Grenzwert von Folgen

Hey ich soll mithilfe von Rechenregeln für Grenzwerte zeigen, dass die Folgenden Folgen konvergent sind.

a) $\begin{eqnarray*} (\frac{2n+4}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{10+12*(-1)^{n^{2}+2n+1} }{n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie ich das mit den Rechenregel für Grenzwerte zeigen soll?
Ich mein man sieht ja recht schnell, was für ein Grenzwert entsteht.

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{2n+4}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$ (hier kann man jetzt zunächst die Klammer berechnen und kommt dann auf beispielweise folgende Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{2n+4}{n})^{3-n} = \lim_{n \to \infty } (\frac{2n}{n})^{3-n} + \lim_{n \to \infty } (\frac{4}{n})^{3-n} = \lim_{n \to \infty } (\frac{2}{1})^{3-n} + \lim_{n \to \infty } (0)^{3-n} \end{eqnarray*}$ (der zweite limes geht ja gegen 0, daher kann man ihn ignorieren?

Nun schauen wir uns den ersten genauer an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{2}{1})^{3-n} = \lim_{n \to \infty } (2)^{3-n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2^{-3+n} } = 0 \end{eqnarray*}$

So würde es mir einleuchten. Aber weiß nciht ob das so geht. Der Grenzwert ist richtig, aber ob man es so gezeigt hat?
Würde es gern richtig machen.

Beim zweiten ähnliches.. da bekomme ich als Grenzwert auch 0, da im Zähler sich ja nichts erhöht. egal welcher Wert n annimmt.. es kommt da immer entweder -1 oder 2. Folglich bekommt man im Zähler je nach n entweder 22 oder -2.
Im Nenner wird aber die Zahl dagegen immer größer, da wir ja n gegen unendlich haben.
Folglich wird die Zahl immer kleiner und nähert sich immer weiter der 0 an.
Nur wie man das mit den Rechenregeln für Grenzwerte zeigt leuchtet mir nciht so sehr ein.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. smile

18.04.2013, 18:17

watcher

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Hallo,

leider hab ich eine schlechte Nachricht für Dich.
Deine Rechnungen hier sind falsch, du machst den Fehler bereits

Im Allgemeinen ist ( $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R ,k \in \mathbb Z \backslash \{1\} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} (a+b)^k \neq a^k +b^k \end{eqnarray*}$

Vorschläge:
Bei der a) 2 ausklammern und zeigen, dass der zweite Term beschränkt ist bzw. den Grenzwert ausrechnen (an e-Funktion denken.)
Bei der b) bietet sich das Sndwichtheorem an.

18.04.2013, 18:35

AndrewT13

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Oh schade.

Wie meinst du das mit der 2 ausklammern?

Ein anderer Ansatz wäre ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} (\frac{2n + 4}{n} )^{3-n} = \lim_{n \to \infty b} (\frac{\frac{2n}{n} + \frac{4}{n} }{\frac{n}{n} } )^{3-n} = \lim_{n \to \infty b} (\frac{2 + \frac{4}{n} }{1} )^{3-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ würde ja gegen 0 gehen, dann hätte ich 2 in der Klammer.
Aber ich weiß nicht, ob man das so machen darf.
Darf man das nur wenn kein Exponent da ist? also hierbei z.b.?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} (\frac{2n + 4}{n}) \end{eqnarray*}$

Finde keinen Ansatz bei Folgen mit solchen Exponenten..

18.04.2013, 18:37

AndrewT14

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ach sollte natürlich n gegen unendlich heißen. Da hat sich ein b eingeschlichen.

18.04.2013, 18:41

watcher

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Hallo,

das ist kein anderer Ansatz. Du versuchst nur nochmal das selbe wie vorher in schwammiger zu machen.

Zitat:

Darf man das nur wenn kein Exponent da ist? also hierbei z.b.?

Man muss sich immer an die gültigen Rechenregeln halten.

Nochmal in genauer:
Bei $\begin{eqnarray*} \frac{2+4n}{n} \end{eqnarray*}$ kann man 2 ausklammern das solltest du tun.
Du erhälst damit einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} lim _{n \to \infty} a_n b_n \end{eqnarray*}$ .
Rechenregeln für Limites von Produkten anwenden.
Einen der beiden Grenzwerte hast du schon ausgerechnet.

18.04.2013, 19:08

AndrewT15

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Wir haben aber doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n + 4}{n} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{2 + 4n}{n} \end{eqnarray*}$

Stehe irgendwie gerade auf dem Schlauch..

18.04.2013, 20:03

watcher

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Da hast du Recht.
Das ändert aber nichts daran, dass man 2 ausklammern/ vor den Bruch ziehen oder wie auch immer man es sonst nennen will kann.

18.04.2013, 20:29

AndrewT16

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naja ich bin von diesen Rechenregeln ausgegangen:

w ww.math-kit .de/ 2003/ content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest12/rechenregeln. html

Wobei ich nirgends eine Formel finde, die besagt, wie man rechnen muss, wenn ein Exponent nach einer Klammer ist..
Und daran verzweifel ich etwas. traurig

Und wie das mit dem 2 ausklammern gehn soll weiß ich auch nicht so recht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (2 * \frac{n + 4}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$

Das hier kann es ja nicht sein..
Und selbst wenn ich es in eine solche Form bringen kann.
Da ein Exponent nach der Klammer steht kann ich ja nicht auf die Regeln zugreifen oder?

18.04.2013, 20:40

watcher

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Nicht rumjammern machen.
Wie man vorgehen kann hab ich doch bereits gesagt.

Übrigens ist: $\begin{eqnarray*} 2 * \frac{n + 4}{n} \neq \frac{2n+4}{n} \end{eqnarray*}$

Tipp: Verwende so was wie:
$\begin{eqnarray*} (2 * \frac{n + 4}{n})^{3-n} = 2^{3-n} (\frac{n+4}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$

P.S. Willkommen in der Nicht-mehr-Schulmathematik. Es gibt nicht für alles ein Standardkochrezept. Man muss schoon ein bisschen mehr selber denken.

18.04.2013, 20:58

AndrewT17

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Wäre das denn ein richtiger Ansatz?

$\begin{eqnarray*} (\frac{2n + 4}{n})^{3-n} = (\frac{n }{n} + \frac{n + 4}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$
Aber dann würde ich ja letztendlich wieder da landen wo ich war, denn du sagtest ja bereits

Zitat:

Im Allgemeinen ist ( $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R ,k \in \mathbb Z \backslash \{1\} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} (a+b)^k \neq a^k +b^k \end{eqnarray*}$

Es geht mir ja nicht darum, dass ich selbst denken muss. Mach ich wirklich gerne, denn das ist es was in der mathematik immer tolle Diskussionen und Herausforderungen bringt.

Nur würde ich gern mal eine Definition sehen, wie man bei Klammern mit Potenzen vorgehen muss, denn bei den Rechengesetzen waren ja nur welche ohne..

18.04.2013, 21:02

AndrewT18

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Oder was eigentlich auch gehen müsste wäre das:

$\begin{eqnarray*} (\frac{2n + 4}{n})^{3-n} = (2 *\frac{n + 2}{n})^{3-n} = 2^{3-n} * (\frac{n + 2}{n})^{3-n} \end{eqnarray*}$

Nur falls das jetzt richtig ist.
Wieso darf man denn hier das mit dem * auseinanderziehen und bei + nicht?

18.04.2013, 21:30

watcher

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Ja so ist es gedacht.

Zitat:

Original von AndrewT18

Wieso darf man denn hier das mit dem * auseinanderziehen und bei + nicht?

Weil Mathematik kein Wunschkonzert ist.
Potenzen sind nicht anderes als spezielle Produkte, diese vertragen sich mit * aber nicht mit +.

18.04.2013, 21:49

AndrewT19

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ok un ddarf ich damit dann schon mit Limes argumentieren das der Grenzwert 0 sein muss?

Ich mein bei n gegen unendlich bedeuted das ja für den ersten teil, dass er gegen 0 geht.
Und da es hier eine Multiplikation ist ist es ja egal, ob der rest 1000000 oder 3 ist.

Also ich wäre jetzt dann so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} 2^{3-n} * \lim_{n \to \infty b} (\frac{n+2}{n})^{3-n} = 0 * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Würde man für den zweiten teil auflösen würde ja auch $\begin{eqnarray*} 2^{3-n} \end{eqnarray*}$ rauskommen oder? Und das ist dann ja ebenfalls 0

18.04.2013, 22:02

watcher

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 2^{3-n} =0 \end{eqnarray*}$
Damit bin ich einverstanden.

Das allerdings ist falsch:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+2}{n})^{3-n} = 0 \end{eqnarray*}$
Wie bereits gesagt: Denk an die e-Funktion.

Zitat:

Ich mein bei n gegen unendlich bedeuted das ja für den ersten teil, dass er gegen 0 geht. Und da es hier eine Multiplikation ist ist es ja egal, ob der rest 1000000 oder 3 ist.

Wichtig ist, dass der zweite Teil nicht unbeschränkt wächst, also z.B. dass er konvergiert.

18.04.2013, 22:55

AndrewT20

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ok vielen vielen dank für die Hilfe. smile

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