DGL lösen mit äußerer Resonanz

18.04.2013, 20:25

paggy

DGL lösen mit äußerer Resonanz

Hallo!

Hätte da wieder mal eine Frage:
Es geht um folgende DGL 2.Ordnung:

$\begin{eqnarray*} y'' - 2y' = 12x -10 \end{eqnarray*}$

Lösung homogener Anteil :

$\begin{eqnarray*} y'' - 2y' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 0 ; \lambda_{2} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{H} = C_{1} + C_{2} * e^{2x} \end{eqnarray*}$

Nun der inhomogene Teil:

Das Störglied ist $\begin{eqnarray*} S(x) = 12x - 10 \end{eqnarray*}$

Nun muss man beim Ansatz yp = (Ax+B) nochmal alles mit x multiplizieren weil anscheinend äußere Resonanz vorliegt.
Das versteh ich nicht, seh hier nicht wo 12x-10 ein Teil oder multiplikativer Teil eines Teiles der Lösung der homogenen DGL ist. Hilfe !^^

18.04.2013, 20:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na betrachten wir doch mal gedanklich nur ein konstantes Störglied, etwa $\begin{eqnarray*} S(x)=-10 \end{eqnarray*}$ .

Du möchtest also gern die Resonanz ignorieren und einfach $\begin{eqnarray*} y_P = B \end{eqnarray*}$ (also konstant) ansetzen? Dummerweise ist das aber schon eine Lösung der homogenen Gleichung (und zwar mit $\begin{eqnarray*} C_1=B,C_2=0 \end{eqnarray*}$ ), also kann das nie und nimmer eine Lösung der inhomogenen Gleichung sein, für kein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Ähnlich (nur ein Polynomgrad höher) sieht es aus bei $\begin{eqnarray*} S(x)=12x-10 \end{eqnarray*}$ mit dem dann leider unzureichenden Ansatz $\begin{eqnarray*} y_P(x) = Ax+B \end{eqnarray*}$ .

Oder so: Ein einfacher Zugang bei dieser DGL "ohne" Summand $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ besteht darin, gleich mal die DGL zu integrieren, d.h.

$\begin{eqnarray*} y'-2y = 6x^2-10x+C \end{eqnarray*}$

Diese DGL erster Ordnung weist nun keine Resonanz mehr auf, und die Lösung stimmt am Ende natürlich mit der obigen (anders gewonnenen) Lösung überein.

18.04.2013, 21:54

paggy

Auf diesen Beitrag antworten »

die Alternative Methode ist mir klar, danke mal dafür.

Für dein aufgeführtes Beispiel ist mir das schon irgendwie klar aber in meinem Fall versteh ichs immer noch net ganz.

(12x-10) müsste ja dann irgendwie Teil der homogenen Lösung sein. Aber wann ist das der Fall ? C1 kann ja nicht (12x-10) oder so sein, dann wärs ja keine Konstante mehr. Oder kann ich da den speziellen Fall x=0 betrachten oder wie ? Oder "ensteht" der Anteil 12x in Verbindung mit C2*e^2x irgendwie ? Oder reicht es wenn nur der konstante Teil vom störglied (10) als teil der homogenen Lösung vorkommt ? verwirrt

18.04.2013, 23:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merke an deinen Nachfragen leider, dass ich mit meinen Erklärungen im ersten Teil in keinster Weise zu dir vorgedrungen bin. In dem Fall muss ich dann passen.

18.04.2013, 23:55

paggy

Auf diesen Beitrag antworten »

lass mich nicht dumm sterben. Ich versteh nicht welche werte c1 und c2 annehmen müssen damit das störglied eine loesung dieser ist ( und ich somit resonanz erkenne). Das bei diesr angabe jedes konstante stoerglied eine loesung der homogenen dgl ist ist mir ja klar. Verwirren tut mich nur das 12x, eben wegen dem x...

19.04.2013, 00:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von paggy
lass mich nicht dumm sterben. Ich versteh nicht welche werte c1 und c2 annehmen müssen damit das störglied eine loesung dieser ist

Ich verstehe dieses Anliegen nicht: c1 und c2 sind Parameter der homogenen Lösung, nicht des partikulären Ansatzes der inhomogenen Lösung. Also was soll das???

19.04.2013, 07:32

paggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar. Aber äußere resonanz sagt ja das das störglied ein teil der homogenen lösung ist. Ich weiß weis nicht wie die c lauten müssen damit das der fall ist. Ich seh hier nicht wo 12x-10 ein teil der homogenen lösung ist. Wenn das störglied cosx ist und eine homogene lösung der dgl zb c1*cosx ist kllar das resonanz vorliegt...

19.04.2013, 09:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von paggy
Aber äußere resonanz sagt ja das das störglied ein teil der homogenen lösung ist.

In dieser Formulierung ist das schlicht und einfach falsch.

Tatsächlich verhält es sich bei einer solchen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten so: Hat man ein Störglied der Form $\begin{eqnarray*} S(x) = p(x)\cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und einer reellen (oder ggfs. auch komplexen) Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so spricht man von Resonanz, wenn $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ Lösung der homogenen DGL ist - also NICHT notwendig muss $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der homogenen DGL sein!!! Das hast du dir also falsch gemerkt, bzw. es ist dir falsch vereinfacht vermittelt worden.

Neue Frage »

Antworten »

DGL lösen mit äußerer Resonanz

Verwandte Themen