Verluste durch Schwarzfahrten Binomialverteilt

22.02.2007, 10:11

brunsi

Verluste durch Schwarzfahrten Binomialverteilt

Es wird festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer Schwarzfahrt kontrolliert zu werden 5% beträgt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzfahrer frühestens bei der 10.Fahrt kontrolliert wird??

hätte nun gedacht, ich müsste $\begin{eqnarray*} P(x\geq10) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Mein Gedacnke wäre ja nun, da es nicht möglich ist für eine nihct nach oben begrentzte Anzahl X die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, über die gegenwahrscheinlichkeit zu gehen:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq10)=1-P(X\leq9) \end{eqnarray*}$

Im Baumdiagramm dargestellt wäre, dass doch nur ein Ast??!

Wäre das so richtig??

22.02.2007, 10:23

Lazarus

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Frühestens bei der 10ten Fahrt erwischt zu werden ist äquivalent dazu, 9 Fahrten nicht erwischt zu werden.

22.02.2007, 10:49

brunsi

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ok, also nur $\begin{eqnarray*} P(X\geq10)=P(X\leq9)=0,95^9=0,630249409 \end{eqnarray*}$

Danke, hatte da einen kleinen Blackout.

22.02.2007, 12:53

yeti777

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Hallo Brunsi!

Nein, ich denke, dein erster Ansatz war schon richtig und Lazarus meint es auch so. BINOMIAL-Verteilung: Ja.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10)= 1- P(X\leq 9)= 1- p^0 (1-p)^9= 1- 0.95^9= 0.370 \end{eqnarray*}$

Bezüglich Baum (Gegenwahrscheinlichkeit) geht es 9 Mal geradeaus mit der Wahrscheinlichkeit 0.95. Dann fängt der Baum an, sich aufzuspalten mit "erwischt" - "nicht erwischt".

Gruss yeti

22.02.2007, 14:29

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@yeti777

Ich glaube, da legst du Lazarus was falsches in den Mund. Es handelt sich hier um ein Bernoulli-Experiment, ja. Aber die Binomialverteilung kommt dann zum Zuge, wenn es um die Anzahl Erfolge bei einer festgelegten Anzahl Versuche geht.

Bei der vorliegenden Aufgabe geht es aber nicht darum, sondern um das erste Eintreten eines Erfolges, und dieser Zeitpunkt ist geometrisch verteilt. Die Zahlenrechnung von brunsi ist richtig, die Symbolik im Mittelteil aber nicht: Für die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... Zeitpunkt des ersten Erwischens

gilt $\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = 0.95^9 \end{eqnarray*}$ .

22.02.2007, 14:57

Lazarus

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Oha. Ich wusste nicht, das mein Hinweis so unterschiedlich interpretiert werden kann.

Ich meinte es so:
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit erwischt zu werden. $\begin{eqnarray*} q+p=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal hineinander erwischt zu werden.
$\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal nicht erwischt zu werden.
Und nun:

Zitat:

Frühestens bei der 10ten Fahrt erwischt zu werden ist äquivalent dazu, 9 Fahrten nicht erwischt zu werden.

Sorry falls das missverständlich war.

22.02.2007, 16:54

yeti777

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RE: Verluste durch Schwarzfahrten Binomialverteilt

Zitat:

Original von brunsi
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzfahrer frühestens bei der 10.Fahrt kontrolliert wird??

@Arthur: Jetzt bin ich verwirrt unglücklich

! Ich habe die Aufgabenstellung so interpretiert, dass der Schwarzfahrer beim 10. oder 11. oder 12. oder... n-ten Mal erwischt wird. Diese Ereignisse sind disjunkt. Also addieren sich deren Wahrscheinlichkeiten. Wo mache ich hier den Denkfehler?

Bei der geometrischen Verteilung gilt $\begin{eqnarray*} P(X= x)= p(1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$ . Wie kommt man jetzt formal auf $\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$ ? Habe im Moment eine totale Mattscheibe.

Gruss yeti

22.02.2007, 17:44

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Zitat:

Original von yeti777
Bei der geometrischen Verteilung gilt $\begin{eqnarray*} P(X= x)= p(1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$ . Wie kommt man jetzt formal auf $\begin{eqnarray*} P(X \geq x)= (1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$

Von der geometrischen Verteilung aus gesehen so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=x}^{\infty} ~ p(1-p)^{k-1} = p(1-p)^{x-1} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} ~ (1-p)^n = p(1-p)^{x-1} \cdot \frac{1}{1-(1-p)} = (1-p)^{x-1} \end{eqnarray*}$

Aber die Erklärung von Lazarus finde ich besser, d.h., man berechnet eher mit der umgekehrten Kausalität

$\begin{eqnarray*} P(X=x) = P(X\geq x) - P(X\geq x+1) \end{eqnarray*}$ .

22.02.2007, 18:41

yeti777

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@Arthur: Bezüglich dem Unterschied binomial - geometrisch ist der Groschen (endlich) gefallen. Die erste Gleichungszeile verstehe ich auch. Aber bei dieser Zeile hier

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P(X=x) = P(X\geq x) - P(X\geq x+1) \end{eqnarray*}$ .

habe ich immer noch ein Brett vor dem Kopf. Kannst du noch einmal helfen? Danke.

Gruss yeti

23.02.2007, 09:20

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Als Summe geschrieben ist es vielleicht besser zu verstehen:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x) = P(X=x) + P(X\geq x+1) \end{eqnarray*}$

Gesprochen:

Der Fall $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ größer oder gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilt sich in zwei disjunkte Teilfälle auf: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist größer als $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hier ganzzahlig ist, ist der zweite Fall identisch zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ größer oder gleich $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ .

Ausführlich genug? Augenzwinkern

23.02.2007, 16:45

yeti777

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@Artur: Mamma mia! Eeeeeeeeendlich sitzt der Schlaps am Hils, der Schleps am Hels, der Schlips am Hals!!!

Vielen, vielen Dank, Arthur, dass du soviel Geduld mit mir hattest. Muss wohl des Alter sein, dass ich eine soooooooo lange Leitung hatte Augenzwinkern

.

Gruss yeti

PS. Typisch Ingenieur: Sie bauen komplizierte KALMAN-Filter, schlagen sich mit der RICCATI-Matrix-Gleichung herum, etc., aber eine einfache geometrische Reihe begreifen sie nicht. Wie sagte doch schon Hilbert....?

23.02.2007, 16:50

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Das wird mir in Zukunft auch so gehen, nachdem ich vor einer Woche meinen zweiten Weisheitszahn eingebüsst habe. smile

23.02.2007, 16:54

yeti777

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Schrecklich! Nachträglich mein Mitgefühl. Ja, wir sind zwei ganz Arme. Ich habe seit langem nur noch einen und der sitzt unsichtbar im Unterkiefer, hihi Big Laugh

.

Gruss yeti

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