Definitionsbereich der Funktionen bestimmen

18.04.2013, 21:50

daniel22

Definitionsbereich der Funktionen bestimmen

Meine Frage:
Hallo, liebe Mathematiker.
Ich soll den Definitionsbereich folgender Funktionen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} y=ln|sin(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=arccos\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{2x}arccos(x-2) \end{eqnarray*}$

Weis nicht wie ich das ermitteln bzw. wie ich das genau schreiben soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

19.04.2013, 00:02

mYthos

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Bei allen Funktionen soll die Definitionsmenge offensichtlich eine Teilmenge der reellen Zahlen sein, d.h. komplexe Zahlen sind ausgeschlossen.

Der Logarithmus ist für positive Argumente (ohne Null) definiert, der Sinus liefert nur Werte zwischen -1 und +1.
Die arccos-Funktion hat als Umkehrfunktion des Cosinus Argumente, die zwischen -1 und +1 liegen.
Die e-Funktion ist für alle reellen Argument definiert.

mY+

19.04.2013, 00:10

Dopap

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Hier kann man nur nach dem maximalen Definitionsbereich fragen.

Die äussere Funktion hat einen max. Definitionsbereich.
der Wertebereich der inneren Funktionen sollte eine Teilmenge sein.
das bestimmt den Definitionsbereich der inneren Funktion.
der Wertebereich der innersten Funktion sollte wiederum davon eine Teilmenge sein.

Beispiel $\begin{eqnarray*} y=arccos(\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$

der arccos erzwingt [-1,1] im Argument, die Wurzelwert ist $\begin{eqnarray*} \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ --> der Wurzelwert muss $\begin{eqnarray*} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ sein

---> das Argument der Wurzel muss $\begin{eqnarray*} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ sein.

---> für welche x ist $\begin{eqnarray*} (x^2-1) \in [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

das ist jetzt nicht so sauber hingeschrieben wie man es könnte, aber ich hoffe das Prinzip wird klar.

19.04.2013, 10:31

daniel22

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$\begin{eqnarray*} D=(-\sqrt{2};-1) \cup (1;\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das für die dritte Funktion?
Ich muss nämlich von allen drei den mathematischen Definitionsbereich aufschreiben.

19.04.2013, 11:31

Dopap

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Zitat:

Original von daniel22
$\begin{eqnarray*} D=(-\sqrt{2};-1) \cup (1;\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das für die dritte Funktion?

Du meinst die 2.te Funktion. Ein "wenig" grösser:

$\begin{eqnarray*} D=[-\sqrt{2};-1] \cup [1;\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$

19.04.2013, 17:53

daniel22

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Und wie lauten die Definitionsbereiche für die erste und die letzte Funktion?

19.04.2013, 18:07

Dopap

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ja, nach meiner ausführlichen Hilfe bei 2.)

dürfte das doch kein Problem sein. Wir sind keine kostenlosen Aufgabenlöser !

Jetz musst du schon mit eigenen Ideen und Vorschlägen kommen.

19.04.2013, 18:47

daniel22

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Bei der ersten:

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R - \left\{ r\cdot \pi /r\in Z\right\} \end{eqnarray*}$

Und bei der dritten:

$\begin{eqnarray*} D=(1;3) \end{eqnarray*}$

Bei der ersten bin ich mir nicht ganz sicher. Stimmt das so?
Die e-Funktion ist ja für alle x zugelassen und die Arccos-Funktion von -1 bis 1
aber sie ist ja um 2 Einheiten nach rechts verschoben.

19.04.2013, 19:03

Dopap

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Zitat:

Original von daniel22
Bei der ersten:

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R - \left\{ r\cdot \pi /r\in Z\right\} \end{eqnarray*}$

rein optisch: $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \backslash \left\{ x | x= r \cdot \pi ~\land r\in Z\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und bei der dritten:

$\begin{eqnarray*} D=(1;3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=[1;3] \end{eqnarray*}$

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