Alle Homomorphismen

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Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Homomorphismen
Hallo!

Also es geht um folgende Aufgabe:

Für bezeichne die zyklische Gruppe der Ordnung n.
Bestimmen Sie:

a) alle Gruppenhomomorphismen
b) alle Automorphismen von

Ich habe leider nicht wirklich eine Idee hierzu, da ich keine Ahnung habe, wie man da auf alle kommen soll, ich weis, was ein Homomorphismus ist, und ich weis, dass ein Automorphismus ein bijektiver Homomorphismus von einer Gruppe in sich selbst ist, aber ich kann mir gar nicht vorstellen, wie ich auf alle kommen soll....


Über sämtliche Tips wäre ich äußerst froh!

lg
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sagt dir der Begriff eines Erzeugers der zyklischen Gruppe was?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe ist dann zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h.


Dann ist x der Erzeuger.

Mehr fällt mir nicht dazu ein Big Laugh
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Und ist ein Gruppenhom.

Form doch mal um.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »



Die * werden natürlich k mal ausgeführt!

Aber ich sehe da irgendwie grad gar nicht, wie ich da auf alle Homomorphismen schliessen soll, die es gibt :S
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Alles weitere was ich verraten würde wäre sofort die Lösung.

Vielleicht denkst du mal an eine analoge zu lineare Abbildungen auf Basen.
 
 
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, meinst du damit, dass lineare Abbildungen eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt sind?

Also analog hier sind die Gruppenhomomorphismen eindeutig durch das Bild des Erzeugers bestimmt?

Ich nehm das sonst jetzt mal als Aufforderung dazu, dass ich mir noch mehr gedanken dazu machen soll, ich denke bis morgen schaff ichs bestimmt, mir da ein bisschen was zu überlegen!
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich weis grad nicht, ob ich das wirklich richtig interpretiere.

Ein Gruppenhomomorphismus einer zyklischen Gruppe ist eindeutig durch das Bild des Erzeugers festelegt.

d.h. für Die zyklische Gruppe der Ordnung n muss der Erzeuger, der ja die Ordnung n hat, auf ein Element abgebildet werden, dessen Ordnung n teilt.

D.h. es gibt für jedes Element in der zyklischen Gruppe, dessen Ordnung die Ordnung des Erzeugers teilt, einen Gruppenhomomorphismus?

edit: Habe gerade gesehen, dass die Homomorphismen von gehen sollen, dürfte aber eigentlich keinen Unterschied machen?
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